习题3

习题3

一、填空题

1．函数的单调增加区间为_____．

2．设函数g（x）有一阶连续导数，且g（0）＝g′（0）＝1，则_____．

3．若点（1，0）是曲线y＝ax3＋bx2＋2的拐点，则a＝_____，b＝_____．

4．曲线的凸区间为_____．

5．设f（0）＝1，f′（0）＝－1，则_____．

6．曲线的斜渐近线方程为_____．

二、单项选择题

1．当x→0时，若是比x2高阶的无穷小，则a，b值为（　）．

A．

B．1，1

C．

D．－1，1

2．若在区间（a，b）内有f′（x）＜0，f″（x）＜0，则曲线y＝f（x）在此区间内是（　）．

A．下降且是凸的

B．下降且是凹的

C．上升且是凸的

D．上升且是凹的

3．函数y＝arcsin x－x的单调增加区间为（　）．

A．（－∞，＋∞）

B．（0，1）

C．（－1，1）

D．（－1，0）

4．以下命题正确的有（　）．

A．若对任意x∈（a，b），都有f′（x）＝0，则f（x）在（a，b）内恒为常数

B．若x0为f（x）的极值点，则必有f′（x0）＝0

C．函数f（x）在（a，b）内的极大值必定大于极小值

D．若f′（x0）＝0，则x0为f（x）的极值点

5．设f（x）与g（x）在x＝x0处均有极大值，则函数F（x）＝f（x）g（x）在x＝x0处（　）．

A．必有极大值

B．必有极小值

C．没有极值

D．是否有极值不能确定

6．函数在（0，＋∞）内的零点个数为（　）．

A．3

B．2

C．1

D．0

7．设在［0，1］上f″（x）＞0，则f′（0），f′（1），f（1）－f（0）或f（0）－f（1）的大小顺序是（　）．

A．f′（1）＞f′（0）＞f（1）－f（0）

B．f′（1）＞f（1）－f（0）＞f′（0）

C．f（1）－f（0）＞f′（1）＞f′（0）

D．f′（1）＞f（0）－f（1）＞f′（0）

8．设函数y＝f（x）具有二阶导数，且f′（x）＞0，f″（x）＞0，Δx为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f（x）在点x0处对应的增量与微分，若Δx＞0，则（　）．

A．0＜dy＜Δy

B．0＜Δy＜dy

C．Δy＜dy＜0

D．dy＜Δy＜0

9．设f（x）有二阶连续导数，且，则（　）．

A．f（0）是f（x）的极大值

B．f（0）是f（x）的极小值

C．（0，f（0））是曲线y＝f（x）的拐点

D．f（0）不是f（x）的极值点，（0，f（0））也不是曲线y＝f（x）的拐点

三、解答题

1．求下列极限：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

2．证明下列不等式：

（1）当

（2）|sin a－sin b|≤|a－b|；

（3）当x＞0时，

（4）设，则

3．证明方程x5＋x－1＝0有且仅有一个正根．

4．如图3.17所示，三角形的底边长为a，高为h，求其最大内接矩形的面积．

5．讨论方程的根：

（1）x3－5x－2＝0，在（0，＋∞）内；

（2）a0＋a1x＋…＋anxn＝0，在（0，1）内，其中

6．设f（x）在［0，a］上连续，在（0，a）内可导，且f（a）＝0，证明存在一点ξ∈（0，a），使得

f（ξ）＋ξf′（ξ）＝0．

7．设0＜a＜b，函数f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，证明存在一点ξ∈（a，b），使得

8．已知函数f（x）在［0，1］上连续，在（0，1）内可导，且f（0）＝0，f（1）＝1．证明：

（1）存在ξ∈（0，1），使得f（ξ）＝1－ξ；

（2）存在两个不同的点η，ζ∈（0，1），使得f′（η）f′（ζ）＝1．

9．曲线弧y＝sin x（0＜x＜π）上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径．