6.5　多元函数的极值

2025年09月17日

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6.5　多元函数的极值

6.5.1　多元函数的极值

定义　设函数z＝f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内异于（x0，y0）的任何点（x，y），都有

f（x，y）＜f（x0，y0）（或f（x，y）＞f（x0，y0）），

则称函数f（x，y）在点（x0，y0）取得极大值（或极小值）．

极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点（x0，y0）称为极值点．

例如，函数z＝x2＋y2在点（0，0）处取得极小值0．因为在点（0，0）处的函数值为0，而在点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点的函数值都大于0．从几何上看也是明显的，因为点（0，0）是开口向上的旋转抛物面的z＝x2＋y2顶点．

如何寻找已知函数的极值点呢？我们首先要找到已知函数的可能极值点，即要研究函数取得极值的必要条件．

设函数f（x，y）在点（x0，y0）处取得极值，固定y＝y0，则z＝f（x，y0）是一元函数，它在x＝x0处取极值，由一元可导函数取得极值的必要条件可知fx（x0，y0）＝0．同理可有fy（x0，y0）＝0．

定理1（极值的必要条件）　设函数f（x，y）在点（x0，y0）处取得极值，且函数在该点的两个偏导数存在，则

fx（x0，y0）＝0，　fy（x0，y0）＝0．

与一元函数类似，把同时满足fx（x0，y0）＝0，fy（x0，y0）＝0的点（x0，y0）称为函数f（x，y）的驻点．由定理1可知，偏导数存在的函数极值点一定是驻点．但是驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数z＝x2－y2的驻点，但不是它的极值点．

以上二元函数极值的概念与结论可推广到三元及三元以上的多元函数．

那么，什么条件下驻点一定是极值点呢？可以证明如下定理：

定理2（极值的充分条件）　设z＝f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内有连续二阶偏导数，且点（x0，y0）是函数的驻点．记

A＝fxx（x0，y0），　B＝fxy（x0，y0），　C＝fyy（x0，y0）

则

（1）当AC－B2＞0时，点（x0，y0）是极值点，且A＜0时，点（x0，y0）是极大值点；A＞0时，点（x0，y0）是极小值点；

（2）当AC－B2＜0时，点（x0，y0）不是极值点；

（3）当AC－B2＝0时，点（x0，y0）可能是极值点，也可能不是极值点．

例1　求函数f（x，y）＝x2＋2xy＋2y2＋4x＋2y－5的极值．

解　解方程组

得x＝－3，y＝1．点（－3，1）是函数的驻点．

再求二阶偏导数，得

fxx（x，y）＝2，　fxy（x，y）＝2，　fyy（x，y）＝4

都是常数，于是有

AC－B2＝2·4－22＝4＞0

而A＝2＞0，所以函数f（x，y）在点（－3，1）处取极小值，其值为f（－3，1）＝－10．

例2　求函数f（x，y）＝xy（1－x－y）的极值．

解　解方程组

易得驻点（0，0），（1，0），（0，1），．

再求二阶偏导数：

fxx（x，y）＝－2y，fxy（x，y）＝1－2x－2y，fyy（x，y）＝－2x．

在点（0，0）处

AC－B2＝0·0－12＝－1＜0，

所以点（0，0）不是f（x，y）的极值点；

在点（1，0）处

AC－B2＝0·（－2）－（－1）2＝－1＜0，

所以点（1，0）不是f（x，y）的极值点；

在点（1，0）处

AC－B2＝（－2）·0－（－1）2＝－1＜0，

所以点（1，0）不是f（x，y）的极值点；

在点处

所以点是f（x，y）的极值点，又因为，所以f（x，y）在点处取得极大值

应当注意，除了驻点外，偏导数不存在的点也可能是极值点．例如，由定义可知函数在点（0，0）处取得极大值1，但点（0，0）并不是驻点，因为fx（0，0），fy（0，0）都不存在．

6.5.2　多元函数的最值

与一元函数类似，可以利用函数的极值求函数的最大值和最小值．

如果函数z＝f（x，y）在有界闭区域D上连续，则由连续函数的最值定理可知f（x，y）在D上必存在最大值和最小值．又设f（x，y）在D上存在偏导数，如果最大值和最小值在D的内部取得，那么这些最大值点或最小值点必然是驻点．所以将函数f（x，y）在D的内部的所有驻点处、偏导数不存在点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是f（x，y）在D上的最大值，最小的就是最小值．

例3　求函数f（x，y）＝x2＋2y2－x在闭区域D＝｛（x，y）｜x2＋y2≤1｝上的最大值和最小值．

解　函数在有界闭区域D上连续，故一定有最大值和最小值．

先求驻点．解方程组

得唯一驻点．

再求在D的边界x2＋y2＝1上的可能最值点．

在边界x2＋y2＝1上，函数

f（x，y）＝x2＋2y2－x

成为

f（x，y）＝x2＋y2＋y2－x＝2－x2－x．

故转化为求函数

g（x）＝2－x2－x

在［－1，1］上的可能最值点．

令g′（x）＝0得，可能最值点为x1＝－1，x3＝1．对应f（x，y）在边界上的可能最值点为（－1，0），．

最后，比较得所求最大值为，最小值为．

在实际问题中，如果知道目标函数f（x，y）在定义域D内一定能取得最大值（或最小值），且在D内有唯一驻点，则可以肯定函数在该点取得最大值（或最小值）．

例4　要做一个容积为V的长方体无盖容器，问如何选取长、宽、高才能使用料最省？

解　设容器的长为x，宽为y，则高为因此容器的表面积

解方程组

得函数S（x，y）的唯一驻点．

根据题意可知，表面积S的最小值是存在的，所以函数的唯一驻点就是最小值点，即当容器长、宽、高分别为时用料最省．

6.5.3　条件极值

有些极值问题，对于函数自变量，除了限制在定义域内，还受其他附加条件的约束，这类极值称为条件极值．

求解条件极值问题的一种方法是将条件极值转化为无条件极值．例如，例4中，如果设容器的长、宽、高分别为x，y，z，则容器的表面积S＝xy＋（2x＋2y）z，此时还有一个约束条件xyz＝V，这是条件极值问题．例4的解法是通过从约束条件xyz＝V中解出代入S＝xy＋（2x＋2y）z使之成为一个无条件极值问题．但是条件极值化为无条件极值并不是都能实现的，即使能实现，有时问题并不简单．下面介绍一种直接求条件极值的方法．