4.2　换元积分法

4.2　换元积分法

利用基本积分公式与积分的性质所能计算的不定积分是十分有限的．本节把复合函数的微分法反过来用，得到一种基本的积分方法——换元积分法．

4.2.1　第一类换元积分法

设所求的不定积分为，它可以写成

的形式，作代换u＝φ（x），则上面的不定积分就化为．如果容易求得f（u）的一个原函数F（u），则

利用复合函数的求导公式，容易验证公式（1）的正确性．事实上，由

可知式（1）成立．利用公式（1）计算不定积分的方法称为第一类换元积分法，习惯上也称为凑微分法．

例1　求

解　设u＝3x，则所以

例2　求

解　令u＝lnx，则，所以

比较熟练后，可不写出变量代换过程，直接凑微分进行计算．如本例求解过程可简化如下：

例3　求

解　

例4　求

解

例5　求

解

例6　求

解

类似可求得

例7　求

解

例8　求

解

例9　求

解　因为

所以

例10　求

解

类似可求得　

从以上例子可看出，积分运算与微分运算相比具有更大的灵活性．一般地，如果所遇到的不定积分能化为下列形式之一时，可考虑用换元积分法进行计算．

这里只要不定积分容易求得，所给的不定积分也就得到了．

对于被积函数中含有根式的某些不定积分，也可以利用换元积分法进行求解，但不同的是，求解这类问题的主要原则是通过引进新变量，将被积函数中的根号去掉，即作另一种形式的变量代换x＝φ（t）．

4.2.2　第二类换元积分法

设所求的不定积分为，适当地选择变量代换x＝φ（t），将积分化为，即

如果f［φ（t）］φ′（t）的一个原函数为Φ（t），则将t＝φ－1（x）代入，得到f（x）的原函数Φ［φ－1（x）］．这种换元法一般可写为：

这里要求x＝φ（t）单调可导，且φ′（t）≠0．

事实上，由复合函数的求导公式，有

所以式（2）成立．利用公式（2）计算不定积分的方法称为第二类换元积分法．

如果被积函数中含有x的二次根式，可以考虑利用三角恒等关系，通过三角代换来去掉根式．

例11　求

解　为了去掉被积函数中的根号，考虑

设，则

由于，所以，因此有

例12　求

解　利用公式：化去根号．

利用例8的结果得

其中C1＝C－ln a．

例13　求

解　利用公式来化去根号．注意到被积函数的定义域是（a，＋∞）和（－∞，－a）两个区间，在两个区间内分别求不定积分．

当x＞a时，设，那么

其中C1＝C－ln a．

当x＜－a时，令x＝－u，那么u＞a，由以上结果，有

其中C1＝C－2 ln a．

把x＞a及x＜－a的结果合起来，可写作

从以上三个例子可以看到，如果被积函数中含有因式，则可设x＝a sint；如果被积函数中含有因式，则可设x＝a tant；如果被积函数中含有因式，则可作变换x＝a sec t．具体解题时要分析被积函数的具体情况，灵活采用各种变换与方法．

例14　求

解　可通过三角代换来计算．这里采用倒代换，即设，则，于是

当x＞0时，有

当x＜0时，有相同结果．

例15　求

解　设，于是

例16　求

解　为了去掉被积函数中的根号，令，即x＝t2，则dx＝2tdt，所以

例17　求

解　令，即则所以

在本节的例题中，有几个积分以后经常会遇到，可当作公式使用（其中常数a＞0）：

（14）

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

习题4.2

1．求下列不定积分：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

（20）

（21）

（22）

（23）

（24）

（25）

（26）

（27）

（28）

（29）

（30）

（31）

（32）

2．求下列不定积分：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）