1.4　极限存在准则　两个重要极限

1.4　极限存在准则　两个重要极限

本节介绍极限存在的两个准则，并在此基础上讨论两个重要极限：及

1.4.1　极限存在准则

1）夹逼准则

定理1　如果数列{an}，{bn}，{cn}满足：

（1）存在正整数N，当n＞N时，有an≤cn≤bn；

（2）

则数列{cn}收敛，且

证　由故对任给ε＞0，分别存在正整数N1与N2，使得当n＞N1时有

a－ε＜an＜a＋ε；

当n＞N2时有

a－ε＜bn＜a＋ε．

取N3＝max{N，N1，N2}，则当n＞N3时，有

a－ε＜an≤cn≤bn＜a＋ε，

即

∣cn－a∣＜ε，

所以

这个定理不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一种求极限的方法．

例1　设

解　由于而

由夹逼准则知

上述数列极限存在准则可以推广到函数极限的情形．

定理2　如果函数f（x），h（x），g（x）满足：

（1）在x0的某个去心邻域内，f（x）≤h（x）≤g（x）；

（2）

则

例2　求

解　由于

当x＞0时

而故由夹逼准则得

另一方面，当x＜0时

而故由夹逼准则得

综上所述，得

2）单调有界准则

定义　如果数列{an}满足

a1≤a2≤…≤an≤an＋1≤…

则称{an}是单调增加数列；如果数列{an}满足

a1≥a2≥…≥an≥an＋1≥…

则称{an}是单调减少数列．单调增加和单调减少数列统称为单调数列．

定理3（单调有界准则）　单调有界数列必有极限．

例3　设其中实数α≥2，证明：数列{an}收敛．

证　显然{an}是单调增加的，下面证明{an}有上界．事实上

于是，由单调有界准则，数列{an}收敛．

例4　证明存在．

证　由于

所以

因此，单调增加．

因为

故

从而

即

所以对一切n，有an＜4．故有上界．

由单调有界准则知存在．通常用拉丁字母e表示该极限，即

e是一个无理数，它的值是

e≈2.718 281 828 459…

1.4.2　两个重要极限

（1）

在如图1.13所示的单位圆内，当时，显然有

即

故

sin x＜x＜tan x．

不等式各边同除以sin x，有

对一切满足的x都成立．

由于由夹逼准则得

例5　计算

解　

例6　计算

解

2）

证　先考虑x→＋∞的情形．任意x≥1，有

故

则

由例4有

由夹逼准则有

再证x→－∞的情形．当x＜0时，设x＝－y，则x→－∞时y→＋∞，故

综合有

这个重要极限的另一种形式为

事实上，令所以

例7　计算

解　

例8　计算

解

例9　设某人以本金p元进行一项投资，投资的年利率为r．如果以年为单位计算复利（即每年计息一次，并把利息加入下年的本金，重复计息），那么t年后，资金总额将变为

而若以月为单位计算复利（即每月计息一次，并把利息加入下月的本金，重复计息），那么t年后，资金总额将变为

这样类推，若以天为单位计算复利，那么t年后，资金总额将变为

一般地，若以年为单位计算复利，那么t年后，资金总额将变为

现在让n→∞，即每时每刻计算复利（称为连续复利），那么t年后，资金总额将变为

习题1.4

1．求下列极限：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

2．求下列极限：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

3．利用夹逼准则求下列数列的极限：

（1）

（2）

4．利用单调有界准则证明下列数列收敛．

（1）

（2）