3.1.3 基于随机过程的柔性机构动态可靠性分析模型
柔性机构在运动时域内安全可靠的标志是任意时刻的动态响应均在安全域内。换言之,如果某一时刻的动态响应超越了安全域,柔性机构即为失效。为此,本文提出了基于随机过程的柔性机构首次超越动态可靠性分析理论,建立了随机过程动态可靠性分析模型。
根据第2章动态响应的随机过程分析,如图2-11所示动态响应的随机过程,如果在t时刻出现动态响应向上跨越安全域上边界ΩU(t),或者出现向下跨越安全域下边界ΩL(t)的情况,则柔性机构为失效状态。对于动态响应的随机过程,在一定时间间隔内跨越安全域的次数为随机变量,在柔性机构运动时域内任意时刻的概率密度定义为穿越率,记为λ(t)。在时间间隔(t,t+dt)内,动态响应向上跨越安全域上边界ΩU(t)的条件为
由于x(t+dt)=x(t)+x·(t)dt,所以动态响应向上跨越安全域上边界ΩU(t)的条件又可以表述为
设随机过程X(t)、X·(T)的联合概率密度为fX,X·(x,x·,t),则在时间间隔(t,t+dt)内发生跨越的概率为
根据积分中值定理,可以将式(3-5)转化为
对于柔性机构任意参数动态响应的随机过程,只要知道其联合概率密度,即可求出时间间隔(t,t+dt)内发生跨越的概率,式(3-6)就是动态响应首次超越可靠度的计算公式。
然而,即使是最简单的平稳随机过程,目前的研究水平也无法给出式(3-6)的精确解答。只能借助数值方法进行近似求解,在现有的近似求解方法中,基于泊松(Poisson)假设和马尔可夫(Markov)假设是两种比较有代表性的求解方法。
根据动态响应随机过程的平稳性和非平稳性,建立柔性机构动态可靠性分析模型并进行动态可靠度的参数估计。对于平稳随机过程,按照泊松(Poisson)随机过程模型,首先将动态响应极值的随机变量SM当量正态化,可以将动态响应极值的可靠度表示为[166,168]:
如果安全域为随机性边界,则
考虑到随机性边界一般为严平稳过程,μr=μr(t),σ2r=σ2r(t),则
如果安全域为确定性边界,则
如果不考虑柔性机构动态响应随机过程的状态相关性,在整个运动时域内,动态响应为各个单位时间段的串联,动态响应极值SM的总体可靠度R为
式中,n为整个运动时域划分的单位时间段数量。
对于非平稳随机过程,单位时间段的动态响应看作马尔可夫随机过程,按照随机结构可靠性原理,参考文献[48]和参考文献[206]给出了非平稳随机过程的可靠度求解方法,单位时间段安全域具有单侧边界动态响应极值的可靠度为[48,206]
式中 τ——单位时间段长度;
ν[b(t)]——期望穿越率。
在整个运动时域内,动态响应为各个单位时间段的串联,动态响应极值SM的总体可靠度R的计算同式(3-10)。