附录3.B 代际收入流动性的主要经济学理论模型
本附录旨在对现有针对代际收入流动性的主要经济学理论模型进行整理和回顾，以为后续的分析做参考。
一、Becker and Tomes（1979）17
1．基本设定
家庭最大化一个跨越几代人的效用：
式中：Zt表示父代的消费；It表示父代的收入；It＋1表示所有子代的总收入；rt表示对子代投资的回报；ωt＋1表示每一单位资本对子代的价值；et＋1和μt＋1分别表示子代的禀赋资本（endowed capital）和由于市场运气而得到的资本增值（capital gain due to market luck）；St即“家庭收入”；h表示禀赋的可继承性；f表示平均禀赋的增长率18。
进一步假设：父代能正确预期子代的禀赋和市场运气；对子代的投资回报与投资量无关；无信贷约束，家长能够通过向子代未来的收入借贷而得到超过其自身收入的消费；效用函数为homothetic，从而Zt 和It＋1都有单位的“家庭收入弹性”，则解上述最优化问题可得：
式中：βt＝α（1＋rt），而α是父代收入中投资于子代的部分；βt可解释为投资于子代的倾向（the propensity to invest in children），主要取决于父代对子代的利他性程度。可以看出，父代的禀赋资本不仅可以通过影响其自身的收入而影响子代收入，而且还可以直接对子代的收入产生影响，这就是禀赋资本和其他父代特征之间的差别所在（其他资本则只通过影响父代收入而影响子代）。
2．代际收入流动性
倘若不考虑要素市场，即假设rt和ωt＋1外生，独立于子代资本的积累，即
rt＝r，ωt＝ω＝1，f＝0
若进一步假设投资倾向和可遗传性都小于1，则家庭i第t＋1代人的收入为：同时存在，其相互作用会大幅降低流动性，当两者之和大于1时，最初几代子辈收入的上升甚至会大于父辈收入的初始冲击。
式中a＝（1-h）
。基于此，作者描述了某一代人的外生收入冲击所导致的对后代收入的影响：倘若只有禀赋的可继承性或投资倾向，且两者都小于1，则对某一代人的外生冲击会在之后的几代人很快消失（按这两个系数的级数递减），从而有较高的流动性。但是，由于这两者
3．截面收入差距
若假设所有的家庭都有同样的效用方程、可继承性和回报率，市场和禀赋运气是相互独立的、具有有限方差的随机变量，则收入方差为，
二、Becker and Tomes（1986）
设子代的收入满足：
Yt＝γ（Tt，ft）Ht＋
式中，γ代表每一单位人力资本的回报，与技术进步Tt正相关，与经济中技术劳动力和非技术劳动力之比ft负相关。由于这一回报对所有家庭都一样，因此假设γ＝1。虽然人力资本有多种形式，包括技术、能力、相貌、声誉、证书等，文章简化假设其同质，且假设个人成年后的总人力资本额与幼年时期的人力资本积累成比例。则个人的人力资本由家长对子代的私人投资（x）和政府公共投资（s），以及禀赋（E）所决定。即：
Ht＝ψ（xt-1，st-1，Et），ψj＞0，j＝x，s，E
进一步假设家庭的文化和基因特征（family's culture and genetic infrastructure）能提高人力资本投资的边际回报，即，
家长对子代的私人投资的回报rm满足：
人力资本投资的边际收入递减，且取决于子代的禀赋。这是人力资本与物质资本的一大区别，后者的回报与禀赋相关性不大，或者可以简单假设对所有人都一样。在此基础上假设，父代在不影响自身消费和休闲的情况下在下述两种方式之间分配自己给子代的资本，以最大化子代的福利：一是对子代进行人力资本投资；二是直接给予物质资本。文章基于此对有无信贷约束情况下的代际收入流动性进行了详细分析。
三、Solon（2004）19
1．基本设定
假设一个家庭只有一个家长、一个子代，家长在自身消费和对子代的人力资本投资之间分配税后收入：
式中：Ci，t-1和yi，t-1分别为父代的消费和收入；yit为子代收入；Ii，t-1为对子代的人力资本投资；eit为可在代际间遗传的禀赋；νit为白噪声，而可继承性λ在0和1之间。
人力资本投资通过一定的技术转化为子代的人力资本（bi，t）：
bi，t＝θlog（Ii，t-1＋Gi，t-1）＋eit
Gi，t-1表示对子代人力资本的政府公共投资。且满足：
即随着父代收入的提高，公共投资占父代可支配收入的比例降低，从而具有累退性，人力资本通过人力资本回报（p）转化为子代收入：
log yit＝μ＋pbit
2．代际收入流动性与截面收入差距
假设上述模型有内点解，则可求出稳态时的代际收入弹性（即上文实证研究中所求出的IIE）和收入方差分别为：
