附录5.B 机制分解实证模型的推导与证明
这一部分将证明文中的（5-9）式。
在不引起误解的前提下，此处省略所有变量的家庭下标i，并用C 和F分别代表控制了性别、年龄及其平方的子代和父代的收入（这和（3-1）式在方程内控制性别和年龄的效果一致），则（3-1）式可以改写为：
由OLS的性质可得，
（5-B1）式减去（5-B2）式得，
则父代与子代收入的相关系数为r，则由相关系数的定义，
将（A3）代入（A4）式的分子，得
所以，
（5-B6）其实给出了在满足OLS基本假设情况下，解释变量与被解释变量相关系数的一种计算方法。类似的，我们用D代表子代的受教育年份，则文中的（5-5），（5-6）两式在中间变量为人力资本时（即j＝1时）可简化为，
把（5-B1）式和（5-B7）式代入（5-B8）式并进行整理，则有，
将该式视为F对ν1的回归方程，则依照（5-B6）式的逻辑可得，
整理可得，
即，β＝λ1θ1＋
，而中间变量取社会资本和财富资本时（即j＝2，3时）同理。
这一原理可以拓展到中间变量为三个时候的情形，分别用S和A代替社会资本和财富资本，则类似于（5-B7）有，
而把（5-B8）修改为，
同样的，把（5-B1）式、（5-B6）式、（5-B12）式和（5-B13）式代入（5-B14）并进行整理，
将该式视为F对ν1的回归方程，则依照（5-B6）式的逻辑可得，
整理可得，β＝λ1θ1＋λ2θ2＋λ3θ3＋
，即证得（5-9）式。
注 释：
1 需要说明的是，下面的几类文献都有针对子代教育、健康、智力、行为等多个角度的研究，而本书重点关注了其中以收入为研究对象的部分。
2 Solon（1999）在Handbook of Labor Economics的相关章节中写道“找到更可信的计量方法来回答这一高难度的问题［指对代际收入传递的不同途径进行分解］，将需要异常的天分（Finding more credible empirical leverage for answering this very difficult question［sorting out the sources of intergenerational earnings transmission］will require extraordinary ingenuity）”。
3 例如，由于成长时期不同而伴随的家庭环境差异、父母对子女的区别对待、基因遗传的差异，等等。应该说，兄妹效应其实度量了所有由兄妹共享的所有特征的影响。一方面，它是对家庭和社区背景重要性的一个广义指标：不仅包含共享的父母社会经济地位，还有其他父母的特征、子女的数目、兄妹之间的互动、社区的基础设施和邻居的影响等。而另一方面，它也是一个较为狭窄的指标：一些应被列入背景的因素在兄妹相关性中无法体现出来，例如兄妹之间没有共享的基因遗传特征、由于兄妹成长阶段不同和父母区别对待而未共享的家庭和社区特征。
4 例如，假设同卵双胞胎基因完全相同，异卵双胞胎和血亲兄妹的基因一半相同，半血亲兄妹的基因有1／4相同，收养兄妹的基因则完全不同，等等。
5 主要通过基因和成长环境的共享程度两个维度来区分不同种类的兄妹。前者包括同卵双胞胎、异卵双胞胎、普通兄妹、半血亲兄妹和被收养者；后者则包括是否在一起成长。这两个维度结合起来，就可以得到多种兄妹类型，例如，一起成长的普通兄妹、非一起成长的普通兄妹等。类似的，从父子代之间的关系上看，就包括生父母、养父母，以及是否抚养这两个维度。
6 这一假设对于此类研究的有效性非常关键，也是这些研究受到质疑的主要来源。
7 从纯理论的角度看，倘若不存在信贷约束，父代可以通过向子代未来收入无限借贷，来实现对子代人力资本的最优投资，那么，子代的受教育投资完全取决于其能力，代际收入相关性也只取决于代际能力的可继承性；此时，在私人教育和公共教育完全可替代的情况下，后者只会一比一地挤出前者，公共教育的分布失衡并不会带来代际收入的直接相关。而现实中，由于金融市场的不完善和人力资本本身并非很好的抵押品，当低收入家庭的子代所需的最优教育投资额高于其父代的支付能力时，作为缓解这一信贷约束的主要制度，公共教育的分布失衡就会加剧父子收入的直接相关。下文第7章将就公共教育对代际收入流动性的影响进行更具体分析。
8 就211本科院校毕业生而言，按农民和农民工子代、管理者子代的顺序排列，后同。基本结论对于非211本科院校毕业生、高职高专毕业生同样适用。
9 “授之以渔不如授之以鱼”原作“授之以鱼不如授之以渔”，一说出自《老子》，原文为“授人以鱼只救一时之急，授人以渔则可解一生之需”。本意针对教学，指传授给人知识不如传授给人学习知识的方法。本书则借用了这一古语，以“渔”和“鱼”分别指代人力资本（即子代自身获取收入的能力）和社会、财富资本（父代直接帮助子代获取较高收入）。
10 详细证明过程请见附录5．B。
11 对样本的更细致筛选和对收入变量的更明确定义是本书与以往类似研究的一大区别，本书导论和第3章已经对此进行了详细论述。同时，在本章，我们也按最大的收入统计口径（子样本间不完全一致）做了稳健性检验，结果与本书的主要结论一致，限于篇幅未具体列出，可按要求提供。
12 事实上，人力资本投资是在现有教育制度和市场环境下，父代和子代共同决策的结果。我们直接观测到的受教育程度反映了外在环境、父代投资和子代自身努力水平和受教育决策选择的综合影响。在这里，我们主要关注其中的父代投资，而抽象简化了其他方面，这并不影响文章关注父子收入相关性传递机制的宏旨。在后续的章节中，我们将进一步纳入对其他两种因素的考虑，尤其是外在教育和市场环境对个体人力资本投资决策的影响。
13 在所用样本中，房屋和金融财产在城镇家庭总资产中所占的比例，在1995年分别为65．0%，19．5%；在2002年分别为66．7%，27．7%。在农村家庭总资产中所占的比例，在1995年分别为69．0%，26．9%；2002年分别为74．1%，19．7%（CHIPS（1995）农村的耐用消费品只汇报了数量而没有估值，故农村部分的比例为不考虑耐用消费品的比例）。
14 例如，赵剑治和陆铭（2009）发现，社会网络对中国农村收入差距的贡献达到了12．1%—13．4%。
15 需要说明的是，表5．2中房产的解释力在2002年出现明显回落，但这主要是由于投资系数的下降导致，而房产价值对子代收入的回报率则一直在上升。房产投资系数的下降与20世纪90年代的城镇住房体制改革密切相关：由于住房私有化在20世纪90年代中期首先惠及高收入者，导致当时收入对房产价值的影响较大，即投资系数较大；而到2002年，住房私有化基本逐步覆盖了所有城镇居民，从而使得此时的投资系数大幅降低；而到2006年，商品房市场的迅速发展又使得收入对房产价值的影响上升，即投资系数回升。事实上，在1995年到2002年间，住房体制改革的这一特征使得我国城镇家庭房屋财产的基尼系数从0．82下降到了0．54（李实等，2005），本书房产投资系数从1995年到2002年有所下降的特征与该结论一致。
16 虽然原文研究对象为子代教育年限，但这可以自然地扩展到我们这里所用的子代收入上，这也是后续类似研究的做法。
17 在兄妹协方差部分为家庭内子代收入均值；在社区协方差部分为所用两个家庭的子代收入均值。
18 在CGSS中有关于社区的数据，但是其中对收入的统计很不完善。
19 由于有效样本较少，这一估计结果是非常初步的。CHIPS（2002年）中也有类似的1998—2002年回忆性收入，但是没有满足条件的有效样本。
20 Solon（1999）在文中对前期的相关研究进行了总结，认为兄妹效应（sibling effect）在美国为0．4；而近期的研究也基本得出了类似的结论，如Mazumder （2008）认为这一效应为0．5。