11.1.2　偏微分方程的3种边界条件

11.1.2　偏微分方程的3种边界条件

偏微分方程的边界条件在数学物理方法研究中分为以下3类。

（1）Dirichlet边界条件

Dirichlet边界条件直接给定边界上物理量的值，又称第一类边界条件。该类边界条件在MATLAB中表示为

其中，系数h和右端项r是边界上定义的函数常量。譬如，对于热钢块在恒温环境中的热传导问题，钢块表面的温度边界条件为u=T，则在MATLAB中需设定h=1、r=T。在这类边界条件中，系数r和物理量u的量纲是一致的。

（2）Neumann边界条件

给定边界上物理量的法向导数值n·（c⊗▽u），又称第二类边界条件。在MATLAB中表示为

其中，n为边界外法向单位矢量；c和g是定义在边界上的函数常量，在不同的实际问题中，它们都有具体的物理意义。以杆的受力问题为例。当一个横截面为A的杆受外力F（t）作用时，根据胡克定律可以给出如下边界条件。

受力端：

自由端：

则在MATLAB中设定c=E，g=F/A或g=0即可。显然，这里的系数c和右端项g分别表示弹性模量E和面力p。

再以热传导问题为例，通常可以给定如下边界条件：

仿照前面的例子，在MATLAB中对系数项设定相应的值即可。这里的c和g分别表示导热系数k和热流密度q。如果g=0，则表示绝热过程。

（3）Generalized Neumann边界条件

在边界上的某一部分直接给定物理量的值，在另一部分则给定物理量法向导数的值，又称为第三类边界条件。在MATLAB中表示为

显然，当q=0时，上式为Neumann边界条件；当c=0时，则为Dirichlet边界条件。

MATLAB中实际上只有两类边界条件，即Neumann边界条件和Dirichlet边界条件。MATLAB将Neumann边界条件和广义Neumann边界条件统一在一起了。