11.2.2 求解的基本步骤
本部分介绍用偏微分方程工具箱求解问题的基本步骤。在应用偏微分方程工具箱的过程中，首先需要给定一个偏微分方程定解问题（Draw、Boundary、PDE），然后对区域进行有限元网格剖分（Mesh），之后进行求解（Solve），最后将计算结果显示在绘图区（Plot）。下面简要介绍其具体步骤。
（1）Draw——画求解区域
应用前面介绍的5个按钮可以完成简单区域图形的绘制。依次是从边界点画矩形、从中心点画矩形、从边界点画椭圆形、从中心点画椭圆形和画多边形。
图11-4 复杂求解区域的绘制（为使区域显示效果更明显，对区域进行了网格剖分）
复杂求解区域可以用布朗运算由简单图形组合而成。例如，用窗口第二行工具栏中简单的矩形A、圆形B或椭圆形C画好复杂求解区域的轮廓后（此时ABC还仅是各自独立的求解区域），在公式编辑栏（set formula）用加法和减法进行布朗运算，就可以得到想要的复杂求解区域了。例如，A+B就是图形间取并集（即A和B共同组成求解域），A-（B+C）就是图形间取差集（即从A中挖去与B和C有重叠的部分，如图11-4所示）。在菜单栏中的“Options”里有些小技巧可以帮助用户更好地完成求解区域的绘制。选择/取消选择“Grid”可以显示/隐藏背景网格线，结合“Snap”应用可以让画出的求解区域边界和网格线重合，这样就可以精确设定求解区域；“Grid spacing”用来设置网格线的间距。通过修改“Axes Limits”中x轴和y轴的区间上限和下限，可以改变绘图区的尺寸。“Axes Equal”可以快速设置一个正方形的绘图区域。
（2）Boundary——设置边界条件
选择“Boundary Mode”进入边界条件模块，此时求解区域由灰色显示成边框为红色和黑色的线条（设置时，不同颜色表示不同的意义，红色代表Dirichlet边界条件，蓝色表示Neumann边界条件，黑色表示正在编辑的边界）。用鼠标左键双击边界，在弹出的对话框里填写相应的数值，这样就完成了边界条件的设置。
偏微分方程工具箱在给定求解区域后，每一条边界默认为Dirichlet边界条件（第一次从Draw Mode转向Boundary Mode时，所有边界均为红色），且边界上的物理场量为0。
（3）PDE——设定求解问题类型
建议应用PDE Mode时，根据要分析的问题，先在工具栏右侧的下拉菜单中选择相应的问题类型，这样可以更加便捷地设置方程系数。PDE Mode中的Type of PDE就是供选择偏微分方程类型的。除了前述3种偏微分方程类型，MATLAB的PDE Toolbox还提供了另外一种类型的偏微分方程，即本征值方程（Eigenmodes），此类方程多用于薄膜和结构力学中的固有振动分析。
（4）Mesh——划分网格
MATLAB偏微分方程工具箱应用的是最简单的三角形网格单元。网格划分得越细，离散系统越接近连续系统，问题的描述越准确，其结果应该越准确；但从计算角度看，网格越细，离散系统的自由度越多，由于误差积累而导致的求解误差越大，所需的计算量也会增大。因此，有限元网格的划分不是随意的，要得到理想的计算结果，需要选择合适的网格。一般来说，在求解区域应力、应变比较均匀的地方，网格可大一些；而在应力、应变非均匀的地方，网格需要小一些。
PDE Toolbox中有自动划分网格功能，并且具有一定的智能化加密功能，如图11-5所示。
（5）Solve——求解先对菜单栏中“Solve”下面的“Parameters”做一些解释说明，不同的方程类型对应不同的参数设置。
对于椭圆型方程（Elliptic）而言，单击“Solve”下的“ Parameters”会弹出图11-6所示的对话框。一般地，求解椭圆型方程不需要设置求解参数，采用默认值即可。另外，偏微分方程工具箱还提供了自适应求解模式（Adaptive mode）和非线性求解器（Use nonlinear solver）。
图11-5 网格划分的智能加密
对于双曲型（Hyperbolic）和抛物线型（Parabolic）方程而言，弹出的“Solve Parameters”对话框如图11-7所示。其中默认的参数：Time取值0∶10，表示求解时间为0～10 s；u（t0）取值0.0，表示物理量u的初值为0；u'（t0）取值0.0，表示物理量u对时间的一阶导数的初值为0（对于波动或振动问题，u（t0）=0.0和u'（t0）=0.0表示初始时刻位移和速度都等于0）；Relative tolerance取值0.01，表示相对误差为0.01；Absolute tolerance取值0.001，表示绝对误差为0.001。
图11-6 椭圆型方程求解参数设置
图11-7 双曲型和抛物线型方程求解参数的设置
（a）双曲型；（b）抛物线型
（6）Plot——结果可视化
单击
按钮或者从菜单栏中选择“Plot”→“Parameters ”，都可以弹出如图11-8所示的对话框。
图11-8 结构可视化参数的选择
在对话框中选取图形种类（Plot type）和属性（Property）等参数，可以实现对物理量u及其函数f （u）的各种图形显示，譬如色阶图（Color）、等值线图（Contour）和向量图（Arrows）等。