数学是形与数的高度统一

二、数学是形与数的高度统一

现实世界，是物质世界。我们所看到的、所面对的、所接触到的万物，无不以形示人。而“万物皆数”，形与数是紧密结合、内外一体的。数学，则正是以空间形式和数量关系为研究对象的科学，而且是将形与数高度统一起来进行研究的学科。

人类认识数（识数），是人类进化的一大标志。在远古蛮荒时代，人们通过渔猎所获得的食物很少，不需要计算它们的数量。而随着人类劳动能力的提高和社会的进步，获得食物较多，才逐渐产生数量概念，产生计量和计数的需要。所以数和计数，是人类进步的重要标志。最初，“数（shù）”是从人们对食物等（例如野物、石子）用手指“数（shǔ）”出来的。

“万物皆数”是古希腊毕达哥拉斯学派提出来的，也是他们坚信不疑的信条。其原因是，他们认为数是万物内在的本质。无论什么物质，都会随时间变化而变化。如打到的猎物，吃掉了，就不再存在了，然而他们仍然记得他们曾经打到过多少猎物；那些猎物的数目，是不会消失的。进一步，若是曾用某些符号记录过那些猎物的数目，那么就更有依据了。

古希腊以几何为数学，以泰勒斯、毕达哥拉斯为代表的数学家，热衷于几何学研究。但他们寓数于形，把形与数结合起来，不仅仅研究几何图形的特性，也研究数。特别是关于无理数的发现，最为精彩。

毕达哥拉斯学派所说的“万物皆数”的“数”，实际上是专指正有理数，即正整数和正分数。数有最小的单位，其他数则都是它的倍数。把数按其大小，排列在直线上，相当于现在所说的“数轴”，一个数对应于直线上的一个点。他们称此直线为数直线（实际上是有理数数轴的正半轴）。他们认为数直线是有限可分的，直线上有最小的原子。所以毕达哥拉斯学派是“原子论”者。在此数直线上，只有代表正整数和正分数的点，即有理数的（有理）点。这条数直线，实际也不是完整的数轴（没有负半轴，也没有无理数对应的点）。

在这种“原子论”的观点下，他们认为任何两条线段，都是“可公度”的。即可以互相辗转相除的，可以互相量尽的。因为任何线段（的长度）都是最小“原子”的倍数，所以任何两条线段都有公共的倍数（以线段表示的公倍数），因此一定是“可公度”的。这是当时毕达哥拉斯学派的一种信条。

但是，该学派中有个叫希帕苏斯的成员，发现正方形的对角线与其一边却不可公度。事实上，如图2-2-2所示，在正方形ABCD中，用一边AB来量对角线AC，使AE=AB，剩余为CE。作∠BAC分角线AF，交BC于F，连接AF，则易知△AEF≌△ABF（SAS），而有EF=BF，且∠AEF=∠ABF=90°，于是∠CEF=90°。又因∠ECF=45°，故∠EFC=45°, CE=EF, △CEF为等腰直角三角形，于是CE与CF又成为另一个小正方形CEFG的一边与对角线，如图2-2-3所示。因此，又回到原来的问题：用正方形的边来量它的对角线。如此便出现循环往复，以至于无穷的困境。也就是说，正方形的边与对角线，二者不存在公度线段，即正方形一边与对角线是不可公度的。

因为每一次公度，都只能产生一个（有理）数。现在发现有不可公度的两条线段，亦即发现了一种新数——竟然不是（有理）数。这便动摇了该学派“万物皆数（有理数）”的基本信条。据说为了维护学派的基本信条，信徒们便把这种“怪数”的发现者希帕苏斯，投入大海淹死了。这成了科学史上第一个冤案，并由此而引发“第一次数学危机”。但正是由于无理数的发现，使数域突破了有理数的藩篱，人们认识了实数的存在，使数学向前迈进了一大步。

可见，无理数（实数）正是在形数结合研究的过程中诞生的。

黄金分割和黄金数，又是一个形数结合产生的奇花异果。所谓黄金分割，是一个几何作图问题：在一条线段AB上作分点D，使AB分为大小不等的两段（AD＞DB），而使全段与大段之比，等于大段与小段之比（故也称为中外比），即AB∶AD=AD∶DB，或者说使大段为全段与小段的比例中项：AD2=AB · DB。

如果设AB=1, AD=x，便有x2=1·（1-x），从而有x2+x-1=0，解得（只取正值）。据此，可以设计作图方法如下：以AC=1, BC=为两直角边，作Rt△ABC，如图2-2-4所示，则有：AD=AE=AB-DB= 。

E点称为线段AC上的黄金分割点。ω= 便是黄金数（或黄金比），取其三位（实际是四位）小数近似值，便得ω=0.618。它在欧洲中世纪的绘画、建筑和很多方面都有重要的应用，所以获得“黄金数”的美名。

由上式可得x（x+1）=1, ，若将分母中的x用其分式表示式带入，便得一繁分式，再一步步迭代，便得到黄金数的连分数表示式：

将其无限尾部弃掉，便可以得到它的近似分数：, ,，,, …若将其分子排成一列，即得：1, 2, 3, 5,8，13, …这便是著名的斐波那契数列。这在后面还会详谈。黄金数与斐波那契数列，在优选法的应用中大显身手，是优选法的数学理论基础。

形数结合的例子，比比皆是。以后我们还会见到很多。万物运行，皆有自然规律，而自然规律无不可以用数学公式表述。这便是“形中有数，以数表形”的根本原因。