关于三角形界心的妙论

五、关于三角形界心的妙论

（一）关于三角形界心的三个定理

1999年，重庆市第十六中学的夏培贵老师，在《中学数学教学》上发表《关于分周线的三个定理》，提出三角形分周线及有关的三个几何定理。一时引起很多人的关注。

所谓三角形的“分周线”，是指△ABC周边上两点D、E，若它们将三角形周长（三边之和）分成相等的两部分，那么直线DE就称作该三角形的一条分周线。显然，任何一个三角形，都有无穷多条分周线。但是通过三角形边上固定的任意一点（包括顶点），有且只有一条分周线。特别地，通过三角形的三个顶点，有三条分周线；通过三边中点也各有一条分周线。夏培贵老师文章中的前两个定理，就是说通过三角形三个顶点的三条分周线交于一点——称为第一等周中心（界心K）；通过三角形三边中点的三条分周线也交于一点——称为第二等周中心（界心J）。“定理3”是最有趣的结论，我们称之为三角形界心定理：任意三角形的第一界心K、第二界心J与三角形重心G，三点共线。这是一个非常困难的几何证明题。由于没有发现纯几何证法，夏老师文中用的解析方法，以繁代难。虽然解析证明十分复杂，但他通过复杂的计算，终于给出了这个定理的证明。整个定理的解析证明，用了整整两页的漫长篇幅。

他在事先证明定理1、2时，以A点为原点，以AB为x轴正向，建立直角坐标系（图5-5-1）。设三角形三边长分别为a, b, c；设p为三角形半周长，则可求得点K、J的坐标，分别为：

△ABC重心坐标为。

欲证K、J、G三点共线，只需证明直线GK与KJ的斜率相等。他通过复杂的计算，得

因此，G、J、K三点共线。

夏老师发现这三点共线，是很不容易的，是十分有价值的成果。但是美中不足的是用解析方法，计算过于烦琐。如果能有简化证明就更好了，特别是能够发现几何证法，就完美了。果不其然，文章发表不久，就有两篇稿子给出了不同的简化的几何证明。特别是陈传孟老师的纯几何证法，非常简洁，非常精彩，而且还丰富了原有结论。下面就来看陈老师精彩的新证明方法。

（二）漂亮的几何证法

在“陈证”中，将三角形的等周中心，称为三角形的“界心”。先证第一界心J（上述的K点）存在。即从三角形三顶点出发的分周线共点。从图5-5-2上看，直线BJE截△ACB，由梅涅劳斯定理知：。若设三边AB=c, BC=a, AC=b, p为半周长，则AF=CD=p-b, BF=CE=p-a, AE=BD=p-c，从而

过A、B、C分别作对边平行线，交成△PQR，如图5-5-2。且设J到PQ、PR、QR距离分别为lC, lB, lA；J到AB的距离为hc，则 。因此， 。

同理可证。

此为定值。这就是说J点到△PQR三边等距离，故知J点即为该三角形的内心，因而肯定是存在而且唯一。而且因为△PQR与△ABC逆对称，对称中心为两个三角形的共同重心G，故知△PQR与△ABC的内心J与I，是关于G点为中心的逆对称点，应在同一条直线上，即J、G、I三点共线。（这是得到的副产品。）

再证第二界心K（即前述J点）存在。

如图5-5-3，设△ABC的三边中点分别为D、E、F, DS、ET、FU为三条等周线。则由AF=, AE=，而AF+AE+EU为半周长，知EU==EF（△ABC中位线），又因为DF∥AC，故有∠EFU=∠EUF=∠DFU，因而FU为∠DFE分角线。同理。可证SD、TE分别是∠EDF、∠DEF分角线。因此，这三条等周线DS、ET、FU交于△DEF的内心K，即K点也是唯一存在的。但显然△DEF与△ABC也为逆对称，其对称中心也是二者的公共重心G，故此两个三角形的内心关于G点为逆对称点，即K、G、I在一条直线上。

如上述所证，知J、K都在直线GI上，或者说四点J、K、G、I共线。而且由于△PQR与△ABC逆对称，△ABC又与△DEF逆对称，且相似比都是-2。故知这四点不仅在一条直线上，而且其位置有固定距离关系：JK∶KG∶GI=3∶1∶2。

这四点所共在的直线，是一条有关三角形的特殊点共线的直线，完全可以与“欧拉直线”（三角形外心、垂心与重心共线）相媲美。

关于界心的上述定理，两种证明方法相比较，解析法繁杂，但有成套的计算办法（坐标几何）；而纯几何综合证法简洁漂亮，但很难想得到。当遇到困难，而又暂时无法可想时，以繁代难，未尝不是个好办法。但在有了繁杂证法之后，又要想办法化繁为简。这是我们在遇到难题时，分两步走的通常想法。这也是数学难题求证（或求解），给我们的启示之一。而这里所展示的几何证明方法，实在是巧妙，看了此证明之后，我们的心灵实在是感到了美的享受！

（三）历史回望

以上关于三角形界心的三个定理，及其漂亮的证明方法，确实给了我们一次数学美的欣赏。但是，早在百年之前，就已经有人进行过类似的研究，并且有过类似的发现。

19世纪后半叶至20世纪初叶，包括布洛卡（Brocard，1845—1922）、莱莫恩（Lemoine，1840—1912）、约尔刚（Gergonne, 1771—1859）和奈格尔（Nagel，1821—1903）在内的一大批数学家，掀起过一阵研究欧氏几何的热潮，获得了不少新成果。有多部著作对此有过较为系统的总结。但是，这些著作均离我们较远，而新译又出版较迟，所以一般人并不知道其中的内容。所以在近十年中，早在一个世纪以前就已经获得的结果，又被重新“发现”。人们对“布洛卡点”的兴趣，就是一个例子。而对“界心”的兴趣，是另一个例子。

我们现在就来看一看，上述著作中关于这方面有些什么主要成果：

1.△ABC内切圆切三边于D、E、F，则AD、BE、CF相交于一点M，这一点称为Gergonne点；

2.△ABC旁切圆切三边于P、Q、R，则AP、BQ、CR相交于一点N，这一点称为Nagel点；

3.△ABC的Gergonne点和Nagel点为一对等距共轭点；

4.△ABC重心G、内心I和Nagel点N共线，且GN=2IG；

5．设S是IN的中点，则S是△ABC中点三角形△O1O2O3的内心，△O1O2O3的内切圆称为Spieker圆。

联系现实，回忆历史，我们可以得到以下一些结论：

第一，△ABC的第一界心J，就是Nagel点。

事实上，在△ABC中，若D、E、F分别是三边BC、CA、AB上内切圆的切点，显然，AD、BE、CF是分周线。故它们的交点——Nagel点，即是第一界心J。只是在Nagel的时代，还没有“界心”这个概念，因此，也没有人指出这一点。

第二，△ABC的第二界心K，就是Spieker圆的圆心S。

事实上，△ABC的第二界心K，是内心I和第一界心J的中点，与Spieker圆的圆心S的定义一致，即点J就是S。不过，那时也许没有人注意S点具有第二界心的性质。现在夏先生等人从“界心”这一概念出发，指出了这一点。真可谓纵然相隔百年，但英雄所见略同。或者说“老树春来又发花”。