表上作业解决逻辑问题的诀窍
十三、表上作业解决逻辑问题的诀窍
数学的抽象性，使得问题的数学解决，很难有固定的模式和固定不变的方法。在运用数学方法时，有时要辅以其他非数学方法，特别是在寻求解决的思路时更是如此。例如有些逻辑问题，没有既定的思路，如果只靠逻辑推理，很难找到问题的切合点。在实际经验中，列表是个有效的好办法。请看下面这个问题。
例1.A、B、C、D四人赛跑，在比赛前，甲、乙、丙三人对他们的成绩进行预测：
甲预测：A——第一名，C——第三名；
乙预测：B——第一名，D——第四名；
丙预测：D——第二名，A——第三名。
比赛结果的名次，甲、乙、丙三人每人的预测皆一对一错，而且每个名次皆有人猜对。现问：A、B、C、D四人的名次究竟如何？
解这类逻辑问题的一个有效的方法是列表法，并在表上进行操作。先将甲、乙、丙三人的预测资料输入表中（表5-13-1）：
表5-13-1
因为每人所猜名次一对一错，故甲所猜的A——1, C——3中有一个对，有一个错。哪个是对呢？
（1）假设A——1猜对（在表上画“√”），那么C就不是第三名（在表上画“×”）；A也不可能是第三名，所以，丙猜A第三名——错（画“×”），则丙猜D第二名就应该对（画“√”）；那么D不可能是第4名（画“×”），于是B是第一名（画“√”）。到此表中有两个第一名，出现矛盾。所以这种假设不成立。这一过程被称为“表上作业”。所得表上作业的结果，如下表5-13-2所示：
表5-13-2
可见，A不是第一名。
（2）假设C是第三名，那么，A非第一名；A也非第三名，D第二名；从而D非第四名，于是B第一名。如表5-13-3所示：
表5-13-3
由此推得：B第一名，D第二名，C第三名，A第四名。
若问：如果甲、乙、丙三人中有两人全猜对，一人全猜错，那么最终名次如何呢？请有兴趣的读者，仿照前法予以推断。
例2.（表演题）问题如下：
请您阅读下面的脚本，并在□内分别填写数字1～5中的某一个。
[脚本]
演员七人：教师T与学生A、B、C、D、E以及小明M。
道具：A、B、C、D、E每人手里拿一张纸片，上面分别写有数字1、2、3、4、5，纸片上的数字只有拿它的本人看得到，小明对此一无所知。
表演：教师与学生A、B、C、D进行如下对话，小明则只在一旁听，并不插话。问答如下：
T问A：谁的数字最大？
A答：不知道。
T问B:C同学的数字比你的大吗？
B答：不知道。
T问C:D同学的数字比你的大吗？
C答：不知道。
T问D:B同学的数字比你的大吗？
D答：——①是；②不是；③不知道。
T再问B:C同学的数字比你的大吗？
B答：不！
T问小明：听了我与同学们的问答后，你知道各人纸片上的数字是什么了吗？
M：知道。他们纸片上的数字分别是：
A□；B□；C□；D□；E□。
T：很好！你说得对。
说明：这是日本的一道低年级学生数学奥林匹克竞赛题，是道很有意思的逻辑思维表演题。整个问题的文字很长，是在叙述一场数字游戏的全过程，而问题则含在游戏表演的过程之中，而要求的结果——在方格中填写适当的数字（1, 2, 3, 4, 5中的某一个）。问题形式新颖，虽然是逻辑推理问题，但很有趣味性。我们可以用表上作业的方法来进行分析和解决。
分析和求解：在教师与学生A、B、C、D的问答中，隐含了如下信息：
（1）因为A不知道谁的数字最大，说明他的数字不是5（否则他自己最大）；因为B不知道C的数字是否比他大，所以他的数字既不是5，也不是1；同理，C的数字也不是5和1。但是如果只将这些信息记在脑子里，便搅在一起，不能很好地利用这些信息进行下一步推理。现将这些信息填入表5-13-4中（如被否定，则在相应的格子里画记号“\”），便能够方便地帮助我们进行进一步思考和推理：
表5-13-4
（2）教师问D, D的回答有三种选择，分别来进行推理。我们的目的是，通过D的回答能决定出D手中卡片上的数字是几。
1．若选①，则B的数字比D大。
在D知道B的数字已经不是5和1之后，说B的数字比D的大，可见D的数字只可能是1或2。但究竟是1还是2，不能判定，故不能由此决定D的数字。用两个问号填入表格中，如表5-13-5：
表5-13-5
2．若选②，即B的数字不比D的大。
D的数字只可能是4或者是5，也不能断定究竟是什么数字。也用两个问号填入表中，如表5-13-6：
表5-13-6
3．若选③，即D不知道B的数字与他的数字哪个大，因此前面两种情况都不可能，所以D的数字不是1、2，也不是4、5。这只有一种情况：D的数字是3。如表5-13-7所填符号，便将D的数字为3确定下来。
表5-13-7
当教师再问B“C的数字比你的大吗？”时，B已经知道C的数字不是1、5, D的数字是3后，得到了否定回答，这说明B的数字比3大，必然是4；于是C的数字必是2，而A只能是1；剩下的5，就只能为E所有。在表上作业（画记号“\”或“√”）的最后结果，如表5-13-8所示。
表6-13-8
于是小明推断出了所有人卡片上的数字，依次是：A——1, B——4, C——2, D——3, E——5。
读者试想：如果不用列表，只凭推理，事情就会变得很复杂，理不清思绪。列表的目的，就是能够将我们每步推理的结果记录在表里，帮助我们进行下一步的推理。这便使推理容易进行了。