蝴蝶定理的巧证和引申——蝴蝶定理趣谈

2025年09月26日

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十一、蝴蝶定理的巧证和引申——蝴蝶定理趣谈

1815年，西欧《女士与绅士日记》杂志上刊登一道数学证解题（见书末参考文献[10]P640），引起人们广泛兴趣。题目如下：如图5-11-1，过圆中弦AB中点M任作二弦PQ、RS，设它们分别交圆于P、Q、R、S。连接PS、QR，分别交AB于E、F，证明EM=FM。

图5-11-1

从图形上看，好像一只飞翔的蝴蝶，所以人们就把它叫作“蝴蝶定理”。

这是一个看似漂亮，却有一定难度的有趣的几何题。

据说第一个证明者，是英国的一个中学数学教师——霍纳（W. G. Horner，1788—1837）；他也是欧洲第一个提出多项式数值解法的数学家，他所发明的多项式数值解法，在欧洲被称为“霍纳法则”。该方法早在宋代就已经被中国数学家贾宪首先发现，当时被称为“增乘开方法”。

不过霍纳最初证明蝴蝶定理的方法很烦琐，与该定理的优美形式很不相称，很快就被新的较简洁的证明方法所代替。

自20世纪70年代以后的20年中，我国数学家和数学教师，以及数学爱好者，对该定理很感兴趣，发现了多种有创意的证明方法。这里介绍几种。

[证法一]（严济慈证法）

如图5-11-2过S作SS′∥AB，交圆于另一点S′。过M作MT⊥SS′，由圆的对称性得：MS=MS′；∠RSS′=∠MS′S。连接QS′，因Q、R、S、S′共圆，故∠RQS′+∠RSS′=180°。又因为SS′∥AB，∠BMS′=∠MS′S =∠RSS′，所以∠RQS′+∠BMS′=180°，从而Q、F、M、S′共圆。因此∠MS′F=∠MQF=∠PSR，而有△SME≌△S′MF（ASA），得EM=FM。

图5-11-2

该证法是严济慈先生青年时期所做，写在了他的著作《几何证题法》（1928年出版）中。

[证法二]（张景中三角形面积证法）

如图5-11-3设圆心O，过O作RS和PQ的垂线，垂足分别为D、C。又设∠RMF=∠AMS=α；∠PMA=∠QMB=β，则由

图5-11-3

所以有

同理有

欲证ME=MF，只需证明（1）与（2）式右边相等。而这等价于

但由相交弦定理知MQ · MP=MS · MR，故只需证明

即可。由所作知，MQ-MP=2MC, MS-MR=2MD。

因此，又只需证明MCsin α=MD sin β，即

但因∠DMO=90°-∠AMS=90°-α，而又c o s∠DMO=c o s（90°-α）=sin α；同理，有cos∠CMO=sin β。

于是（4）式等价于

这当然成立。即证。

[证法三]（相似三角形法）

如图5-11-4，过圆心O分别作OC、OD垂直PS和RQ，垂足为C、D。由△MPS∽△MRQ，知，从而

从而有△MCP∽△MDR，得∠MCP=∠MDR。而知∠MCE=∠MDF。但C、O、M、F与D、O、M、E分别共圆，而有∠MOE=∠MCE=∠MDF=∠MOF，即OM平分∠EOF；又因为OM⊥EF，亦即在△OEF中，顶角平分线与底边上的高重合，故知△OEF为等腰三角形。因此底边上的高，也平分底边EF，即ME=MF。原题得证。