数学美是学校美育的基础和最重要的部分

三、数学美是学校美育的基础和最重要的部分

（一）数学美有利于文化数学的构建

数学文化化，是数学大众化、数学普及化的重要途径。

数学，是小中大学的必修课程，是人人都要学习的必修课程。数学也是从事任何工作所必须要具有的基本知识。但是，相比于其他课程，特别是相比于文化课程来说，它是难学的课程。特别是中学数学课程改革之后，不少原来是大学才学习的高等数学内容，如解析几何、微积分初步、概率统计初步等，都已经被纳入中学数学教学内容。这使得学生普遍反映数学难学，教师则普遍觉得数学难教。总之中学数学，特别是高中数学，教材水平高过学生接受程度。为此，张应中院士提出“教育数学”的解决方案，他建议把科学数学改造为简单一些、便于进行教学使用的“教育数学”。例如他提出用不等式来代替高中数学里比较难教的极限和微积分，以降低数学内容的难度。

如此虽然能够降低中学数学教学的困难程度，但是，以删除极限和微积分为代价，换取教材难度的降低，似乎得不偿失。因为极限和微积分，是现代数学的思想精华，删去它们，代价太大，而且用不等式来讲解微积分概念，也并不简单。那么，我们能有什么更好的方法呢？有些数学教育界专家学者，提出“数学文化”的概念，即使数学逐步文化化。我们则直接提出“文化数学”的概念，把学校数学改造为“文化数学”，把作为科学的数学课程，改造成文化课程。具体地说，就是大大降低数学的科学水平，而增加数学课程中的文化内涵，把数学史、数学故事、数学与社会、数学与人们生活的联系等文化内容，加入数学教学中去，增加数学课程的文化性。把中学数学改造为文化课程。因为现在的中学教育，已经是全民的教育，而对大多数中学生来说，以后未必需要有很多具体的高等数学知识，他们需要的是数学的思想方法，以及数学实用技术和自学数学的能力。这方面的观点，读者可以进一步参看我们编著出版的《数学文化和文化数学》（书末参考文献[1]）。

而数学之美，正是“文化数学”的要素。数学文化，其本质就是要求在数学教材和数学教学中，充分展现数学之美——数学的极简之美、数学的奇异之美、数学的和谐统一之美，以及数学在我们的生活中的种种美妙的应用。

（二）数学美有利于学生的智力开发

所谓创新型教育，培养创新型人才，重在“创新”。而“创新”需要有高超的思维能力、超前的智慧。而数学是思维的科学，数学问题，是催生学生积极思维的有效“激素”。特别是那些有趣的、新奇的数学问题，以及在解决这些数学问题中所表现出来的新奇的、曲径通幽的奇巧方法，使得学生们获得解题后的快乐，是激励学生学习积极性、激发学生智慧的有效途径。

著名数学家陈省身先生在2002年世界数学家大会期间，给中学生题词“数学好玩”。就是因为陈先生在学习和研究数学中，确实得到了数学美的趣味和快乐。

如果说，体育活动是学生的体力游戏的话，那么数学解题，就是青少年的智力游戏。除了以上所说过的数学趣味外，以下还特别强调在民间、在学校里曾经流行过的数学游戏，以及数学智力趣题。

数学趣味性问题或数学游戏，可举出几例作为引子。

1．黄金矩形

定义：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫作黄金矩形。可以通过折纸折叠出一个黄金矩形，详见《数学（八年级下册）》（人民教育出版社2013年9月第1版）第64页。黄金分割点的几何作法，前面已经讲过。现在讲的是黄金矩形，以及黄金矩形中的黄金点。

如图6-3-1，先作矩形的长边AB，其次作出BA的黄金分割点A1（BA1＞AA1），再以BA1为短边长作矩形ABCD（BC=BA1），此即称为黄金矩形。在此矩形中，作正方形A1BCB1；连接A1B1，则AA1B1D仍然是一个黄金矩形，继续在短边AD上作黄金分割点B2，又可以得到下一个黄金矩形AA1A2B2。继续下去，可以不断迭代出一系列黄金矩形。如图6-3-1中所示的AA1B1D、AA1A2B2、A1A2A3B3、A2A3A4B4四个黄金矩形，就是由黄金矩形ABCD迭代4次生成的。

已探究出黄金矩形至少有以下性质：

性质1．在黄金矩形ABCD内作正方形A1BCB1，则矩形AA1B1D也是黄金矩形。

性质2．所有黄金矩形都相似，且Xn+1与Xn的相似比相同。

点O是黄金矩形ABCD内的一个黄金点，当迭代次数逐步增大时，黄金矩形越来越小，迭代的终点是点O。细心的读者一定会发现，图中的迭代，是使矩形依次按逆时针方向旋转90度。当然，亦可按顺时针方向旋转，如图6-3-2。

在日常生活中，我们经常用手机或相机拍摄各类照片。怎样才能拍出有美感的照片呢？在所用的手机中，执行“设置”→“相机”→“参考线”操作后，再打开“相机”准备拍照时，手机屏幕上就会出现“参考线”。相机中为什么要设置这样的“参考线”？让我们以“数学的眼光”来深究其中的奥秘。

图6-3-2是“蒙娜丽莎”头部的构图，头部整体给人以美感。尤其是“蒙娜丽莎”脸部含有两个黄金点，并且眉心、鼻尖各对应一个黄金点，这就是“蒙娜丽莎”为什么这么美的奥秘。

在其他欧洲古代建筑和雕塑中，图中的“点睛之笔”，往往是定在黄金矩形的黄金点上。如下面图6-3-3至6-3-6像所示：

2．七巧板

七巧板（图6-3-7），是我国民间一种儿童智力玩具，它将一个正方形分割成七个不同的基本几何图形——两个大直角三角形、一个中直角三角形、两个小直角三角形、一个平行四边形、一个正方形。然后用这七块基本图形拼成各种各样的图形。如下图人物（仕女）、飞鸟、家禽、建筑、桥梁等图形（图6-3-8至6-3-12）。

我们还可以进一步提出如下数学问题：

（1）用七巧板可以拼成多少种不同的凸多边形？

所谓凸多边形，是指多边形整个图形都在每边所在直线的一侧。例如，开始的那个正方形（图6-3-7）便是一个凸多边形，图6-3-13中每个图形都是凸多边形，而图6-3-14中大部分图形则不是。那么，用七巧板能够拼成多少个凸多边形呢？这是一个并不容易解答的数学问题，但中学生是能够去试着进行研究的。

（2）用七巧板能够拼成多少个有缺口的凸多边形？

所谓有缺口的凸多边形，是指形如图6-3-15中的第一排第二个，第二、三、五排的第一、四个，第六排的第一、三、四个，以及第七排的第二、三个。我们的问题是：像这样有一个缺口的凸多边形，究竟能拼出多少个？

（3）有洞凸多边形问题。

如图6-3-15中第一排第一、三个图形，其外形虽然是凸多边形，但是其中有一个“洞”（而非缺口），即称为有洞凸多边形。我们的问题是：用七巧板能够拼成多少个有一个洞的凸多边形？有两个“洞”的凸多边形能够拼出来吗？有多少个有两个，以至三个、四个“洞”的凸多边形呢？至多能够拼成有几个“洞”的凸多边形呢？

以上关于有“洞”的凸多边形的数目，是一个有趣的数学问题，也可以说是一个数学系列智力趣题。有兴趣的中学生，以至读者，都可以在七巧板的拼接游戏中，探索其中奥妙。

3．图形覆盖与划分问题

图形覆盖与划分，是组合数学中一类常见的问题，而且十分巧妙和有趣味。

问题1．用7块1×2的砖块，能否覆盖有14块方块的缺角园地？用如图6-3-16所示的7块1×2的地砖（面积为2），能否铺满如图6-3-17所示的缺角园地（面积为14）？

如果用实际试验的方法来解，是行不通的。因为用7块1×2的地砖来铺地，有多得难以计数的不同类型，试验是难以一一穷尽的。我们应该设计出一种易于判别的形式，来帮助我们进行分析和思考。

设计：将场地中每个格子，相间标上数字“1”和“-1”，使其变成图6-3-18的数字图。现将一块1×2的地砖放到场地上去盖住两格，这两格必然相邻，即盖住的两格中的数字必为1和-1，其代数和为0。

用反证法：假设用7块1×2的地砖盖住了这个园地，那么，其中每块地砖所盖的两个数字的代数和皆为0，因此园地上所有被盖住的数字的代数和应为0。但是，实际上这块园地上有6个“1”，8个“-1”，其代数和等于-2，不为0。这就是矛盾。所以假设不能成立，即用7块1×2的地砖不能盖住这个园地。

我们还可以用染色的办法：将场地的小方格相间染成白色和黑色，每一块1×2的地砖，都必然盖住一白一黑两个相邻的小方格。假如能用7块1×2的地砖盖住园地，那么必将盖住7块白格、7块黑格。但该园地上白格与黑格的数目不等，矛盾，因此推出否定的结论。

这种标数字或染色的方法，在处理某些类似的问题时经常有效。

问题2．一块如图6-3-19所示的5×4的园地，另有如图6-3-20所示的5种规格的地砖各一块，它们合起来的面积正好与园地面积相等。问：①能否用这5块不同形状的地砖，将此园地铺满？为什么？②如果限定只用5块某一种规格地砖来铺，哪种形状的地砖可以铺满？哪种不能？为什么？

解：①如图6-3-21所示，在图6-3-19所示的方格中依次相间填上数字1和-1。由于小方格为20个，其中10个“1”，10个“-1”，故全图上所有数字之和为0。

在图6-3-20所示的5种规格的地砖中，（a）、（b）、（d）、（e）这4种规格地砖中的每一块，不论盖住园地中的哪四格，其盖住的数字皆为两个1，两个-1，其所盖数字之和皆为0。

而（c）规格地砖，不论盖在园地何处，其盖住的数字，不是含三个1和一个-1，就是含三个-1和一个1，其代数和不是2，就是-2，而不可能是0。因此，如果用这五块地砖，不重复地去盖园地的话，那么，它们所盖住的所有数字之和，不是2，就是-2，而非0。这就与园地所有数字和为0矛盾。所以，不可能用这5种规格地砖各一块将整个园地盖住。

②用（e）规格地砖5块，就能够盖住整个园地。而用其他四种规格每种5块都不能盖住园地。为什么呢？

对于（c）规格地砖，不论盖在何处，所盖住的四个数字之和是2或者-2，故5块总和不可能是0。

对于（b），则需要重新设计：将图6-3-21中第2、4行数字擦去，变成图6-3-22所示的情形，于是每块（b）规格地砖，盖住的四个数字之和总是-1或者1，故5块所盖数字之和不可能是0。

对于（a）、（d），再将设计改为图6-3-23所示的情形，则每块（a）规格地砖只能盖住一个数字，5块只能盖住5个数字，而图6-3-23中有6个数字，因此不能盖住整个园地。同样，每块（d）规格地砖也只能盖住一个数字，故也排除。

（三）数学美有利于培养创新意识

创新意识，是创新型教育的前提。没有创新意识，就根本谈不上创新型人才的培养和教育。而审美意识，是创新意识的出发点和激发器。只有在美的环境下，只有欣赏到美好的事物，才能够产生对美好事物的向往和追求，才能够从事创造性劳动，创造出新型、美好的作品和产品，成为创新型人才。

而数学美，则时刻体现在我们生活的环境之中，反映在学校的各个课程的内容之中。只要我们留心，就能够发现数学之美。如果扩大我们的视野，将目光投向室外，投向广阔的空间，那么，我们处处都能够体验到数学之大美。

其实，世界处处是数学的课堂，自然界就是几何图形的天地。我们走在城市的大街上，那些高楼大厦、天桥立交都体现出几何图形之美、数学变化之美、数学奇异之美。

例如，我们带读者到我国改革开放的最前沿——深圳经济特区去实际走一走，看一看吧。那里有高耸入云的楼宇和宽阔的高速公路，以及各式建筑，无不令人心醉。

首先，我们来到深圳湾公园，满眼的“几何美”震撼了纸上谈兵的“几何人”。请看，原来工程师和工人们，早已把纸上的数学之美、几何图形之美，变成了现实之美。

非欧几何大师黎曼、罗巴切夫斯基认为平行线不一定不相交。果然我们在公园看到的平行线未必是真平行线，看到的不平行的线未必不是平行线。就像我们看到的椭圆可能是圆，看到的圆又可能是椭圆，这就是仿射几何学的体现。

奇妙的空间几何，不只是数学课本里的知识，更是现实中美的化身。

几何不仅仅是科学，也是哲学：虚与实、繁与简、曲与直、大与小、方与圆、黑与白……虽然它们的形态不相同，但是完全可以相融。

我们走在深圳的大街上，徜徉在公园里，会发现，数学如诗一样存在。诗曰：

惊喜之中，似曾相识，实不相识。

这壮丽的建筑似惊人的巨浪。

乱石穿空，惊涛拍岸，

卷起千堆雪。

江山如画，一时多少豪杰。

遥想公瑾当年，小乔初嫁了，雄姿英发。

建筑设计师高迪曾经说过：直线属于人类，而曲线属于上帝。曲线、直线相伴构成丰富多彩的美丽图案。惊喜之中，似曾相识，实不相识。

曲线包围着直线，直线衬托着曲线，构成了一幅幅美丽如画的建筑图形。惊喜之中，似曾相识，又不识君。

因为人们喜欢直线，简单、直来直去。偏偏大自然却是以各种曲线存在的，科学家为了满足人们的视觉需要，经常用直线做出精美如画的曲面来！你看看这幅曲面图（图6-3-28）就是由直线构成的，多么美妙！

图6-3-29的立体图形，是由一个双曲线围绕它的虚轴旋转360度而成的“直纹面”，也是各种各样的二次曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的集合。而图6-3-30让人意识不到它是单纯由无数直线旋转而成的，这就是它奇妙的地方，也是魅力所在！

如果把图6-3-30的直纹面向纵向拉伸，就成了广州塔——“小蛮腰”（图6-3-31）！

再从网络上搜一搜，看看深圳平安大厦（图6-3-32）、北京大剧院（图6-3-33）和上海浦东新区建筑群（图6-3-34）吧，各种高楼大厦各具个性，但是都充分显示了几何图形之美，“数学之美”。

再看看中国人引以为傲的高铁和高速公路网，以及大江大河上横空出世的大桥吧，犹如一条条“天路”穿山越岭，横跨在高山峡谷之间，令世人惊叹！但它们的建设，首先就需要数学计算，是数学、力学和美的结合。如果你想要加入到建设者的队伍里，成为它们的设计者和建设者，那么首先学会数学和相关科学技术，领会数学之美带给你的智慧和灵感吧！

在大桥建设数量上，我国是世界上当之无愧的第一。仅在万里长江上，截至2016年，在建和已建成的桥梁就有87座，而重庆市以32座在桥梁总数中排第一。其次是湖北25座，江苏、上海13座，四川6座，安徽8座，江西3座。其中，重庆市仅在市区就有跨江大桥11座，（图6-3-35）就是其中之一，公交轻轨两用。

重庆朝天门长江大桥仅有两座主墩，主跨达552米，比世界著名拱桥——澳大利亚悉尼大桥的主跨还要长。

如果，我们把学校的课堂，搬到大自然中，把书本里的数学知识，联系自然界和社会上的具体形象，就可以切实感受到几何图形的优美。因为无论是什么建筑、桥梁或高速路网，都是科学技术和力量的完美结合，而其核心技术，则是计算和设计，其理论核心都是数学与数学技术，都是数学美的外在表现。

正如著名数学家华罗庚所说：大哉，数学之为用！妙哉，数学之为美！