从兔子繁殖引出的优选数列

三、从兔子繁殖引出的优选数列

关于上一篇中所述的“先输组”序列，以及用无理式表达正整数的函数式，还有其更有趣的历史源头，以及更广泛的与现实应用的联系。

（一）历史源头

欧洲中世纪，史称“黑暗的中世纪”，宗教统治压制和扼杀了科学思想。整个中世纪，欧洲的数学几乎没有什么进步，远远落后于东方的中国和阿拉伯等地区。只有一个人值得提及，那就是意大利的斐波那契（1175—1250），在黑暗的中世纪，他像一盏明灯，给欧洲数学带来了一缕微光。他的最大贡献是，在青年时期游历北非和阿拉伯半岛之后，把先进的阿拉伯数学，特别是关于“印度-阿拉伯数码”及其计算方法，带回了欧洲，并写出了数学著作《计算之书》（1202年），成为欧洲人此后学习数学通用的“百科全书”，被广泛使用了200年之久。

就在他这本书中，还载有一个影响广泛而又饶有趣味的数学问题——兔子繁殖问题。问题所述如下：

如果每一对大兔，每月可以生一对小兔；而每对小兔两个月后即成为大兔。那么由养一对小兔开始，一年后可以生出多少对兔子？

问题的解决并不困难。可列表5-3-1计算如下：

从中可以发现一条规律：表的下列，即兔子对数，从第三项开始，每个数都是前面两个数字之和。若设数列的通项为Fn，则数列{Fn}有以下性质：

（1）F1=F2=1；

（2）Fn+1=Fn-1+Fn, n≥3；

而且特别奇怪的是，该数列的通项公式，竟然可以用无理式来表示：

（3），n=1, 2, 3, …

正因为这个数列有很不平凡的特点，引起人们广泛而长久的兴趣。人们把该数列用发现者本人的名字来命名，称为“斐波那契数列”（或简称F-数列），并不断发现它的许多奇妙性质，以及在优选法等多个方面的重要应用价值。

（二）奇妙性质

F-数列的性质有许多，并不断有新的发现。1963年起，美国创办了一份数学趣味杂志《斐波那契数列季刊》，专门发表关于“F-数列”的论文和故事。以下列举几个常用性质：

（1）Fn2-Fn+1Fn-1=（-1）n-1。

（2）F1+F2+F3+…+Fn=Fn+2-1。

（3） 0.6180339887…=ω 。

即F-数列后项与前项之比的分数序列有极限，其极限值就是黄金数ω：

因为由Fn+1=Fn-1+Fn，两边同被Fn除，得

设数列的极限为y，在上式中两边取极限，便得

y2+y-1=0或=y+1 y2+y=1。

二次方程求解得，取正值，得，此即黄金数。

（4）→f=1.6180339887…=1+ω。

（5）已如前述，ω还可以表示为连分数：

（三）两个相关的特殊函数

已如前述，特殊函数f（n）=[na], g（n）=[nb]，其中，，曾经出现在第20届国际数学奥林匹克竞赛题之中，而且引起过不小的轰动。因为这两个函数形式十分古怪，又有奇怪的性质。

性质1，两个函数都是递增数列；两个函数的值域F=f（Z+）、G=g（Z+）不重不漏，完全覆盖了整个正整数集合，即

f（Z+）∪g（Z+）=Z+；F（Z+）∩G（Z+）=Ø。

性质2，函数f（n）有递归表达式：

关于它的证明，上节已经说过，这里从略。根据（1）式，可以从f（1）=1开始造出f（n）的函数表，并由此得到g（n）的函数值。

性质3，

由此得以下推论：

1≤f（n+1）-f（n）≤2

2≤g（n+1）-g（n）≤3

f（f（n））=f（n）+g（n）

可以较快地求得f（240）=388。

性质4，

性质5，

即：函数g（n）在|1, f（g（n））|上的取值个数与在片段|1, g（f（n））|上的取值个数一样多，即f（n）个。

由此可见，数学中有些初看起来不相关的概念、问题或函数可能有着内在的联系。善于发现这些内在的联系，可以激发我们的数学智慧。

（四）优选序列

“斐波那契数列”又叫作优选序列。这是什么原因呢？我们在“（二）奇妙性质”（3）中说道：“F-数列”前后项比的分数序列的极限为黄金数ω≈0.618时就体现了这一点。

优选法，即所谓“0.618”法，就是说在优选区间中第一个实验点，应选在区间的0.618处，这样可以用最少的试验次数，获得较优的试验效果。但是要计算出一个具体的试验区间的0.618点，比较复杂。

所以在优选法的实际应用中，不是计算0.618点，而是用的近似分数序列：,,,,,,,,,…中的某个分数来代替0.618。例如将实验区间分成13等份，第一、二个实验点即选在第5、第8两点。5和8正是（不大于21的）两个F-数列数字。而且这两个点关于区间的中点是对称的。此即华罗庚先生所说的“对称折纸”的理论根据。

如果实验的区间较大，可以将区间等分成34份，第一、二个实验点选在13和21（关于区间的中点也对称）点上。若21点比13点效果好，便舍弃区间[21, 34]，在剩下的区间[1, 21]上再对称选点8，13（也是对称选点）来作实验。如此等等。直到最后选出最优点为止。

将区间等分，对折区间（纸条），对称取点，这比计算0.618简单得多。

所以将斐波那契数列，称为“优选序列”是适合的。这也是“斐波那契数列”在实际应用中的重要价值。

斐波那契数列的“优选”性，还可以在自然界中体现。例如，花瓣的数目，往往符合“斐波那契数列”中的数字，如三瓣、五瓣、八瓣等等；葵花花盘的螺旋状条纹路排列数，也是服从“斐波那契数列”的数字；树枝分叉数目，往往也是按照优选序列数目生长出来的。