电梯升降停靠站设计有学问

十、电梯升降停靠站设计有学问

（一）一个现实问题

一栋33层的大楼有一部大型电梯，停在第1层。从乘客满意的程度考虑，每次上升时，在第2至33层之间停几次、在哪几层停最合理？

分析情况，明确问题：

所谓“满意程度”没有数量意义。所以，首先要把“乘客满意程度”数量化。

一方面，对于已经登上电梯的乘客来说，如果电梯不能停到他所需要去的楼层，还要他走上，或走下一层或几层，那么，他就感到不满意，而上楼又比下楼更让人不满意。因此对于这些已经上了电梯的人来说，希望多停几次，每层都停，就可以把所有人送到位。

另一方面，对于在下面等电梯上楼的人来说，希望等的时间越少越好，因此，希望已经开动的电梯在运行中少停几次。

那么，怎么才能平衡人们的满意度呢？

（二）数量化和合理简化

为了便于计量研究，我们设法将以上“不满意”程度数量化：假设步行下楼一层，不满意程度为1分/人；步行上楼一层，不满意程度为3分/人；电梯停一次，在下面等电梯的人，感到不满意程度为5分/次。

这样就使上下楼的人的“不满意”程度数量化了。

因为上楼到各层的人是随机的，可以作如下假设，将问题进行合理简化：

首先，假设到每层都有1人，而先不考虑下面等电梯的人。现有32人在第1层，他们分别要去第2至33层的某一层，而电梯在中间只停一次，那么停在哪一层，这32个人的不满意分数总和最小？

其次，考虑在下面等电梯人的不满意程度，电梯在一次运行中停几次，使所有人不满意程度最小？

（三）建立数学模型

1．设电梯停在第x层。在第一层有y人没有乘电梯而直接走上楼，32-y人乘电梯上楼。显然，这步行的y人，是住在较低的第2～（y+1）层的某一层，其余的人则分别住在第（y+2）～33层的某一层。现在来计算这32人不满意的总分S。

由于要使不满意总分最小，自然要求y＜x。下面分两部分来计算：

第一部分——步行上楼的y人不满意分数。我们先来计算他们总共步行了多少层楼：第一人从第1层楼梯走到第2层，第二人从第1层楼梯走到第3层，……，第y人从第1层楼梯走到第y+1层楼，上楼梯的总层数为1+2+…+y=（y+1），故不满意总分是：（y+1）。

第二部分——乘电梯上楼的人不满意分数。这32-y人中只有住第x层的那位满意；除此以外，其余人都要往上走或往下走，都感到不满意：

第x+1层到33层的住客，要分别往上走1～（33-x）层，因此，不满意的总分数是：3×[1+2+…+（33-x）]=（34-x）（33-x）；

第y+2层到x-1层的住客，要分别往下走1～（x-y-2）层，因此，不满意的总分数是：1+2+…+（x-y-2）=（x-y-1）（x-y-2）。

总计以上三项，总和为：

于是，我们的问题就变为一个数学问题：求二元二次函数（*）的最小值。

将（*）式右边进行两次配方，得

显然，当x=27, y=6时，S=316是最小值。这就是说：当电梯停在第27层，下面有6人步行上楼时，所有人的不满意总分最小，总分为316分。

2．若电梯只停一次，如上面已经算过，不满意总分最小为316分，加上下面等的人不满意5分/次，不满意总分为316+5×1=321分。

如果电梯每一层都停，即停了32次，上下楼的所有人都满意，而在下面等的人不满意总分有5×32=160分。显然不满意程度低于前者。

3．改进停靠方式。

能否改进电梯停靠方式，使不满意总分更小？

如果电梯连续三层都停，那么中间一层可以不停。因为这样做，减少了一次下面等候的人不满意的5分；而中间层的人往下走一层，只增加1分不满意。合起来减少了4分不满意。

如果电梯连续停三次，每次间隔1层，设为第m-2、m、m+2层，那么第m-1、m+1层的人各向下走一层，不满意各1分，下面等的人不满意5×3=15分，共2+15=17分；如果再去掉中间一次，则m-1层向下走一层，不满意1分，m层的人向下走两层，不满意2分，m+1层向上走一层，不满意3分。但减少了一次下面等的人的不满意5分，总共1+2+3+5×2=16分。所以这中间一次也可以不停。

如果电梯连续停三次，每次间隔2层，设为第m-3、m、m+3层，易算得不满意分数为21分；若去掉中间一次，则不满意分数为23分。可见，这时中间一层不能去掉。

因此，以每隔2层停一次，最为可取。

如果每两次停之间隔3层，怎么样呢？间隔3层，不如间隔2层效果好。理由如下：在12层之间，每隔2层电梯停1次，只可以停3次，不满意分数为27分；若间隔3层电梯停1次，只可以停2次，不满意分数为28分。可见，电梯每隔2层停一次的不满意分数较小。

于是我们可以设计间隔2层电梯停机一次的方案（三种）如下：

（1）2, 5,8，11，14，17, 20, 23, 26, 29, 32；

（2）3, 6, 9，12，15，18, 21, 24, 27, 30, 33；

（3）4, 7，10，13，16，19, 22, 25, 28, 31, 33。

方案（1）不满意总分为88分；方案（2）（3）不满意总分都是86分。相比之下，方案（2）（3）为佳，它们比每层都停，或只停一次的方案要好。