一、万物皆数
（一）人类对世界本源认识的追求
古代人自有思维能力之后，面对天地万物，大多数人茫茫然、昏昏然。
但其中的智者、哲人，却不满足自然的支配和赐予，思考和追寻着万物的本源为何的问题。东方的中国华夏先民，曾经认为万物的本源是“五行”，即金、木、水、火、土这五种基本元素；而西方先民则有以火为尊的拜火教，有崇拜太阳神的古希腊民众。毕达哥拉斯及其学派则以数为宗，认为“万物皆数”。
图3-1-1 毕达哥拉斯
毕达哥拉斯（前580至前570之间—约前500）是古希腊伟大的数学家和哲学家。他出生在爱琴海东岸小亚细亚沿海的萨摩斯岛上。年轻时他到埃及、巴比伦等地游学，40岁后回到故乡，不久迁到意大利南端的克罗托内，创立一个有宗教色彩的政治、学术团体，并以他的名字命名。后人称之为毕达哥拉斯学派。这一学派把“万物皆数”作为信条。他们认为：一切事物都是由其本原构成的，从它派生出来的，最后又复归于它。这个本原就是“数”。
例如，有五个人，尽管他们各不相同，性格各异，寿命长短不一，即使其中有人死了，或者若干年后都死了，但是曾经有过五个人的事实，却是永远存在的。物去而数自在。所以说，这个数“5”就是这五个人的本原。
毕氏为什么会有如此的认识呢？他认为万物的形态都在变化，其中不变的只有它的“数”。所以“数”是万物的本原所在，是万物存在的元素。万物皆是“数”的反映，是数的不同的表现形式。简而言之，就是“万物皆数”。他把这一口号，作为该学派不可动摇的信条。这其中所说的“数”，当时只限于有理数，而且是正数，即是正整数和正分数。
同属于毕氏学派的著名人物菲洛劳斯所说的如下一段话，可以让我们更好地理解这种思想。他说：任何一种东西之所以能够被认识，是因为其中包含一种数；没有这种数，心灵不能思考，也不能认识任何东西。
不过，那时毕氏及其学派，是从几何的角度，来认识和说明数的，即寓数于形之中，把数附属于几何图形。把单个的数（正有理数）称作“线段数”，两个数的乘积称为“面积数”，三个数的乘积呢，则称为“立体数”。而四个数或四个以上数相乘，则不被允许，因为没有相应的几何意义。
数是怎么得到的呢？对于“可数”的离散物体，如手指、石子、野兽等，可以用数（数数）得到。若连续量，没法数，可以用一个单位量作为标准，来度量出它的数量。对于线段，则可以用一个单位长的线段作为标准，来度量它的长短。如果能量尽，即得（正）整数；如果量不尽，便用剩余的零头，来量第二条线段（即单位线段）；若再量不尽，再用第二次剩余来量第一次的剩余线段。如此辗转相量（辗转相除）。他们认为：最后总能有除尽的时候，从而得到原来两条线段的最小公共除尽的线段（最大公约线段）。于是，原来两条线段都是这个公约线段的倍数。所以，在毕达哥拉斯眼里，任意两条线段都有公共最大公约量（基本单位线段）。所以，“线段数”只有（正）整数和分数。那时没有负数的概念。
由此看来，毕达哥拉斯是原子论者。即他们不认为线段是无限可分的，线段有最小的单位，最小组成部分，把它称为“原子”。因此，任何两条有限长度的线段，辗转相除，都是可以互相“量尽的”（可公度的）；不存在两条不可公度的线段。
后来该学派中有个成员叫希帕苏斯的，他发现正方形的对角线与其边不可公度（已如前述）。
因为每一次公度，都只能产生一个有理数。现在发现有不可公度的两条线段，亦即发现了一种新数——竟然不是正有理数（现在称为无理数）。
今天看来，毕达哥拉斯的这种“万物皆数”的哲学观，并不合乎科学。数是物的抽象存在，怎么能说是万物的构成的本原呢？但是这种哲学观，却大大提高了人们对“数”和数学的关注和研究兴趣，使得演绎数学得以诞生，使数学成为开启所有科学的金钥匙和奠基石。这又功莫大焉！
（二）东方哲学家的呼应
世界人类的历史，往往有一种神奇的同步现象：在远隔万里的东西方不同地域的人们，在没有任何交往和联系的情况下，竟然能够有完全相同，或大体相同的想法和思维方式。作为对毕达哥拉斯“万物皆数”观点的呼应，在东方的中国，在大致相同的年代里，居然有十分相似的观点和论断。老子（约前571—前471）是中国第一位伟大的思想家和哲学家，他与毕达哥拉斯处于同一时代，两人可以说是绝对没有任何联系的可能性。但是，奇怪的是他俩似乎心有灵犀一点通，都对数情有独钟，都对数有强烈的崇拜。
图3-1-2 老子和《道德经》
老子生活在我国的春秋晚期，比孔子约年长20岁，姓李名耳，字聃，“老子”是后人对他的尊称。孔子曾经问学于老子。老子的整个哲学体系的核心范畴是“道”，提出了天道无为的思想，反对天道有知的宇宙观。在老子以前和老子的时代，人们认为天是有意志的，是最高的神，可以主宰万物，人世间的一切都是由它决定的。老子经过考察、了解自然界的变化，认为天只不过是一种物质，它没有意志，不能主宰人世间的吉凶祸福，“道”才是天地万物的本源。那么，“道”是什么呢？他解释说：“有物混成，先天地生。寂兮寥兮，独立而不改，周行而不殆，可以为天下母。吾不知其名，字之曰道。”意思是说，有一个浑然一体的物质，在天地出现之前就已有了。它看不见，听不到，摸不着，独立地存在，按照一定的规律循环运行着。它产生万物，它是宇宙万物之母，我不知道如何称呼它，就给它起个名字叫“道”。
“道”在老子的心目中是无形、无象、无体的，是世界万物的本源。那么，“道”是怎样演化出万物的呢？他说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”他又强调说：“人法地，地法天，天法道，道法自然。”即人以地为根据，地以天为根据，天以道为根据，道以自然为根据。
老子的这些话，也说明他认为所谓“万物”，其本质，不过是“一，二，三”等数字的不同表现形式而已。其思想实质，与毕达哥拉斯“万物皆数”的观点，何其相似乃耳！
除了老子以外，中国古人也赋予“数”以特殊意义。如“天数”“气数”“定数”等。把国家兴亡、事业成功与否、人的寿命长短与数字联系在一起。
老子的这种“三生万物”的思想，对中国古代的算学，影响至深。在周朝，作为教育的科目有六种：礼、乐、射、御、书、数。把数学用一个“数”来表示。后来的中国古代数学经典著作，从先秦的《算数书》《周髀算经》到《九章算术》，以及宋元时代的《数书九章》《四元玉鉴》，无不都是由问题、算法（术）和答数所构成。将实际问题的内容和结果，都归结为数的运算，而以数字答案作结。这些“算经”，并没有如古希腊数学著作那样，以证明为主形成理论。即使是一些重要的数学定理，如勾股定理、孙子定理等，也都是以数字的特例来表述的。如前者表示为“勾三股四弦五”，后者表示为“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”。
这里要说明一点，中国古代数学的这种特点，并不能埋没数学的理论价值，只不过是“寓理于算”，数学的理论包含在算法之中。这种算法思想，与现在的计算机的原理（程序化、机械化）一样，对数学的发展同样起了很大的推动作用。
（三）“万物皆数”的现代意义
1．物质的形态，取决于其组成成分的数量特征，观察事物要了解其中的“度”。
万事万物，其存在的形式尽管各种各样，以至于看不见的空气、宇宙尘埃，其形态都有质与量的实在表现。空气，是由各种气体分子组成的，其中主要成分是氮气（约占78%）和氧气（约占21%），其余约1%为氦、氖等稀有气体。每种气体，又是由大量气体分子组成；每种气体分子，又由不同的原子组成，表现为不同的分子量。这里面就有数量关系。地球之所以适合人类生存和居住，其中的一个重要原因就是地球大气中的各种成分比例得当。而其他星球，如火星、金星、水星等之所以没有生物存在，原因之一便是其上的大气成分失当。
所以，我们在观察事物的时候，了解其中的“度”，是很重要的。这个“度”，就是数量的界限。例如地球上的氧气的含量，过多或者过少都将威胁人类生存，这就是“度”的重要性。而“度”在一定程度上可以用“数”来表示。
又例如，水有三态——在标准大气压下，在0℃～100℃以内为液态；达到100℃就变成气态（水蒸气）；而到0℃以下，水就变成固态——冰。所以，水的三种形态，取决于温度度数的多少。这也是“万物皆数”的一个直观说明。
在日常生活中，有“凡事要做到心中有数”的古训。就是说，万事万物都有质与量两个方面，超过了某一个限度（可以用数来表示），事情就要发生质的变化。就如水的形态一样。这方面的教训太多。“心中有数”是人们在长期的生活经验中总结出来的经验教训。如果办事“心中无数”，就要犯错误，出毛病，把事情办砸，事倍而功半。如果做到“心中有数”就能事半而功倍。
即使是在文学作品中，亦是如此。后面我们会举出多个事例来说明。
2．事物或事情力量的对比，包含数量特征。
任何事物，都是由互相矛盾的两个方面组成的，即所谓“一分为二”。但这两个方面，并不是完全对等的，是由二者的力量对比而决定的。例如，战争的对立双方的态势，是由双方军事实力决定的。但是双方力量的对比，又不断变化。当主要方面的力量逐渐减弱，次要方面的力量逐渐增强，就可能改变双方的力量对比，使原来的主要方面，降低为次要方面，而原来的次要方面则成为主要方面。中国的抗日战争，就是最好的说明。战争之初，中国处于弱势一方，日军力量远强于中方。而经过几年的战争进展，加上国际势力的介入，日军力量逐渐消减，中国军力则逐渐加强。到了最后阶段，中国在国际反法西斯同盟国的支持下，转败为胜，终于使日军战败投降。这场战争双方力量对比的变化，不是虚假的、空洞的、无根据的，而是双方军队、武器、人力、物力等因素，在数量上对比的变化所表现出来的。
任何其他事物的发展进程，也是由具体事物的数量上的变化而实现的。例如中国现代化建设的发展成就，不是凭空“吹”出来的，而是由一系列的物质生产数字构筑起来的。所谓“由数字说话”，就是这个道理。从各种物质产品逐年产量增加，就可以说明生产的发展速度和现代化的进程。
3．用数字说话，可以使人信服。
任何事物的发展，大至一个国家，小至一个人，都是由一系列物质数量的变化构成的。一个国家的实力，要看其经济总量、生产力的水平、国家的总人口，以及人口的年龄构成比例、劳动力的效率、消费者物价指数（CPI）等具体数据。中国被世界认可为全球第二大经济体，就是通过对中国经济总量的测算所得出的数据说明的。
就以一个人的成长过程来看，也是由一系列数字来反映的。他几岁入学，读过几年小学，几年中学，成绩如何，几岁上大学，读了几年大学，几年研究生，等等，都要用数字来说话，不能无根据地凭空胡说。用数字说话，能检查论点是否真实可信，能使人相信论点。
一个人的健康状况如何，也是由身体检查得出的一系列数据来决定的：身高、体重、血压、血脂、血糖、血液酸碱度以及各种成分数据，身体各种微量元素的数量等等。亦即人的健康是由数字说话的。
青年人报名参军，身体条件需要用体检报告来证明。尤其是空军飞行员的体检，要严格得多，需要的体检项目更多，需要的体征数据更多。即需要更多的数据，才能证明这个人是否能做飞行员。
由此可见，“心中有数”的论断，在当今的信息社会里，更有显著意义，因此也更加重要。
4．如果心中无数，那么就可能犯错误，办事出问题。
我们先来列举与数学有关的文学作品。
例1．唐代著名诗人白居易的著名长篇古诗《琵琶行》，是列入高中语文课本的好诗。但是它在序言中却说错了话，有数字上的错误。他在诗前的序言中说：“元和十年，……是夕始觉有迁谪意。因为长句，歌以赠之，凡六百一十二言，命曰《琵琶行》。”其中所说的“言”，就是指“字”，意思是说这首诗共612个字。这数字说得对吗？
这诗是七言古诗，每句皆为7个字，共有88句，总数的末尾数应该是6，怎么会是2呢？计算一下：7×88=616。果然，全诗共有“六百一十六言”才对。怎么算少了四个字呢？那只能说，这是白老先生的大意和疏忽，没有做到“心中有数”。
例2．当代电视剧《党员二楞妈》中有一个情节：二楞妈因为砍了公家8棵树，被县林业局罚款3000元。她经过调查，发现林业局干部自己偷砍了89棵树，于是便告到县里，要求按照罚她的标准来处罚林业局的这些人。提出应该对他们罚款27600元。
对不对呢？她算错了。你想：8棵树就罚3000元，那么80棵就应该是罚30000元，加上9棵3000÷8×9=3375（元），合计应该罚他们33375元才对。二楞妈少算了5775元。对于二楞妈来说，这可不是一个小数目啊。按道理说，她不会这么宽待林业局干部的，那为什么会少算呢？该不是有意丑化二楞妈“不识数”吧？不会。因为二楞妈是个正直的党员，是电视剧中的典型正面人物，第一主演。那是什么原因呢？——只有一种可能：是该电视剧的编剧们“心中无数”所致。
这说明，即使是编电视剧，也要做到“心中有数”才行！
5．数字和数字技术。
数字，即表示数目的文字，如一、二、三、1、2、3等，都是数字。数字除了用来做数学计算以外，作为独立的文字，还有特殊的用处。其实，数字作为一种技术的应用，古已有之。只不过是人们没有意识到罢了。下面略举几例。
例1．用数字来给书籍编写页码。
给图书的每一页按照先后顺序用正整数来编号（编页码），是最常见的数字技术。但就是这简单的数字技术，古代文人却不会应用。
中国在东汉蔡伦改进造纸术以前，是用竹简和木简来作为书写材料的。竹简、木简，是在竹片或木片上，用刀刻文字或符号，来进行思想表达和记录史实，亦称为“简书”。例如，西汉司马迁所写的《史记》，最初就是用竹简写成的竹简书。竹简书，虽说是一部书，实际上是用麻绳穿起来的一卷竹简（所以古代书籍以“卷”计数，而不是“本”）。据说汉武帝每天所看的大臣奏折，有两大筐之多，要由两人抬进宫来。
但是，竹简书有一个缺点，如果时间长了，一旦穿竹简的麻绳断了，竹简书就散成没有次序的一把竹简，那就很麻烦了。在考古工作中，现代出土的古代竹简书，就遇到这样的麻烦。因为当时的竹简书没有编页码，穿绳烂掉，就不知道竹简的顺序，一捆竹简就不称为一部书了。虽然经过专家们研究，根据每根竹简的内容进行调整，但还是很难完全分辨清楚前后顺序，从而可能造成页码颠倒、错乱。这种错乱，在考古学上有一个专门的名称，叫做“错简”。可见用数字（正整数）给书的页码按照顺序编号，就是很重要的一种数字技术。古人没用这项技术，就给今人造成很大的麻烦。据说湖北几十年前发现的先秦时期的古算书《算数书》，就因为错简，考古人员用了多年时间，才弄清楚前后顺序，刊发出来。
例2．用数字给剧院、影院的座位编号，给体育场的座位编号等。试想，如果不给剧场或体育场的座位编号，不给对应的观众座位票编号，那么，观众就没法确定座位，演出和比赛也没法有序进行。
例3．为一个单位的办公场所、居民的居住小区设置门牌号码，也是数字技术的应用。虽然简单，但若不这样，众多外形、结构相似的楼房会给人们进行空间定位带来许多不便。
例4．八卦和二进制数码。
我们通常用的是十进制计数制度，即用十个不同的数字，代表十个数，进行计数。现在世界上大多数地区的通用数码字，大多是印度-阿拉伯数码0，1, 2, 3, …, 9。这是因为人类在远古时期，最初都是用十个手指计数，故用十进制最为方便。而且印度-阿拉伯数码，大多是一笔写成的，故使用和书写简单便利。但是，除了十进制以外，人类还用过其他计数制。如古巴比伦人用过六十进制；古罗马人用过五进制和十进制混合计数法；古代英国某些部落用过十二进制；玛雅人用过二十进制；等等。17世纪德国数学家莱布尼茨创用了二进制。二进制的好处是，只需要两个符号来计数，就够了。
图3-1-3 八卦图
其实，在3000多年之前，中国古人发明的八卦，就已经有二进制的思想萌芽了。传说“文王画卦”，公元前1100年，周代开国之君周武王的父亲周文王在被商纣王囚禁期间，创用耆草表示出阴爻（--）和阳爻（—）两个符号（称为两仪），两两排列出不同的四种形式（四象）。再将四象加上一爻，排列成八种不同排列，而称为八卦。若再将这八卦两两组合，便得出了六十四卦。
当时人们就用这种卦象，进行占卜，对一些重要的大事件，进行预测，希求上苍给予人们以启示。特别有趣的是，在这八卦之中蕴含了二进制的初步思想。它包括了所有前64个三位二进制数，很了不起。17世纪，进入中国传教的西方传教士，将中国八卦传入欧洲，并被正在研究二进制的数学家莱布尼茨了解到，使莱氏大喜过望，认为二进制早已被3000多年前的中国古人发现，十分惊叹，并写信给当时中国执政的康熙皇帝，建议中国应该成立科学院，进行科学研究。