数学是思维的体操、智慧的催化剂

四、数学是思维的体操、智慧的催化剂

按照我国著名科学家钱学森对学科的划分，数学既不是人文科学，也不是自然科学，而是一个独立的学科，就其研究的对象和模式，应该属于思维科学。著名革命家和思想家加里宁（1875—1946）直截了当地说出了“数学是思维的体操”这句名言。实际上，与其他学科相比，数学更加注重对人们思维的训练。

人类因能够思维，能够使用生产工具，而从动物群体中脱颖而出，成为动物之“王者”。但是人的思维能力和聪明程度，是有区别的。固然思维能力受先天的基因基础影响，但后天的培养和接受教育，对其影响更大。数学家华罗庚说过：“天才在于积累，聪明在于勤奋。”被认为是20世纪最聪明的科学家的爱因斯坦也说：“我没有什么特别的才能，不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了。”

其实一个人所谓的聪明和才能，不过是善于思考，喜欢寻根刨底地追求问题的解决。而“学问”本身，也就是一“学”二“问”，而学和问，都需要接受教育（家庭教育和学校教育），并养成习惯，坚持不懈。

接受教育，当然说的是德智体美劳的全面教育。就学校课程学习而言，也是要学习各种文化课程和科学知识。为什么要特别强调数学学习的重要性呢？这是因为数学学习可以帮助人掌握思维形式和思维活动的规律。

人的思维，大致分为三种：形象思维、抽象思维和灵感思维。而这三者是递进关系。特别是灵感思维，是人的创造性思维，是高级思维活动，是人的智慧的表现。而智慧则是人最宝贵的素质和品质。数学则是人的智慧的催化剂。

（一）何谓智慧？

智慧，是人们经常说的一个词语。但是，要问“究竟什么是智慧？”却有多种不同的理解。通常人们的理解是：智慧就是智商和聪明。《辞海》上的解释是：“对事物能认识、辨析、判断处理和发明创造的能力。”在佛教经典中，将梵文“般若”翻译成智慧，其本义为“如实了解一切事物”。

这样解释，把智慧与能力、智力混为一谈，并没有把智慧的真意说明白。为了把智慧与知识、能力区别开来，我们不妨从“司马光砸缸”这一著名的历史故事说起。

相传北宋政治家、文学家和历史学家司马光，小的时候和许多小孩子在一起玩耍，其中一个小孩不小心，翻入一口大水缸中。如果不及时去救起这个小孩，那么，时间一长，他就必死无疑。

这是一个常识，也是一种知识。正是因为有了这种知识，所以大家着急。要是没有这种知识，是不会有人着急的。

这时，如果有人跳到水中把这个小孩救起来，或者用某种工具，从水缸里把孩子捞上来。那么，这就是一种技能。

而司马光却用一块石头，把缸砸破，让水流出来，小孩自然得救。这就是智慧的表现。从这个故事中，我们可以清楚地看出：知识、技能（能力）和智慧相比，是不同层次的概念。与知识、技能相比，智慧是更高层次的内在本领，只有少数人才具备的高级能力。

这个故事还可以帮助我们理解智慧所表现出来的特征：

第一，智慧，只有在解决困难问题时，才能表现出来，它是动态的，而非静态的。

第二，灵活运用简单的知识和方法，巧妙地、出乎众人意料之外地解决问题，才是智慧。

第三，智慧是一种高级思维——灵感思维活动。运用智慧解决问题的方法和途径，是非常规的、独创的、前人所没有发现过的，而且基本上是不能重复的。

通常人的思维分为感性思维和理性思维。而灵感思维，是超越了这两种思维，而又综合了这两种思维的高级思维方式。一个人只有在经过长期的、紧张的思维过程之后，才会出现灵感思维。在灵感思维的过程中，才有可能闪现出智慧的火花。

在当今“知识爆炸”的时代，对于我们每个人来说，增长智慧比增长知识和技能，更为重要。

知识和技能，是大多数人通过相关课程的学习，能够学到和掌握的，只是各人领会和掌握的程度有所不同罢了。而智慧，却是无法在课堂上学到的。因为，智慧“只能意会，不能言传”。

（二）我们怎样才能获得智慧和增长智慧？

首先，要学习和掌握多方面的基本知识和技能。因为知识和技能虽不是智慧本身，但却是智慧生长的基础。知识越多，知识面越广，基本技能越熟练，产生智慧的基础就越深厚。古人说“熟能生巧”，就是这个道理。没有知识，或知识较少的人，在现代社会里是谈不上有什么智慧的。

其次，要勤于思考，善于思考。我们平常所学的知识，都是事物的一个断面，是静态的，而且各不联系。我们学习以后，要将各种知识联系起来，加以分析和综合，使所学知识在我们的大脑中“联动”起来。这样才有可能产生新的知识板块和新的知识结构，才能在已有知识的基础上有所发现、有所发明、有所创造、有所前进。

最后，要勤于动手，勇于实践，在实践中解决问题，尤其是困难的问题。知识本身是死的，只有在解决实际问题的实践中，才能将知识越用越活。“活”用知识，才能够激发出智慧。

一般来说，在解决困难问题时，要综合运用多方面的知识，采用各种方法和手段，探索解决问题的多种途径，进行艰苦的、长期的、紧张的思维和动手试验，以至多次反复。这样才有可能“急中生智”。这个“急”，就是指人的思维处于高度紧张状态之中。而这正是出现灵感思维的必要条件，是产生智慧的良好环境。

数学是思维的科学，是人们，特别是青少年思维的体操。所以，数学学习，是提高人们思维能力、激发灵感思维、培养智慧的重要途径。

数学智慧，是指在数学学习活动——实际问题的数学解决中，所表现出来的智慧。这在数学史上有许多精彩的典型事例。例如，中国古代数学家祖冲之巧测冬至点，刘徽创设立体模型——牟合方盖，以求解决球体积计算问题；古希腊数学家阿基米德用力学方法解决数学问题，欧几里得的公理化方法；近代数学家欧拉“图”解哥斯尼堡的“七桥问题”，哈代用初等数学方法解决令人们困惑的“色盲遗传”难题；等等。

历史是一面镜子。数学智慧的这些精彩事例，虽然不能重复，很难模仿，却可以给后人以极大的启示。我们在学习数学的过程中，可以借鉴前人和古人的经验。对于科学史上运用数学智慧解决难题的成功之例，我们要仔细思考，悉心体会这些伟大数学家解决难题的思想方法、活用知识的窍门，学习他们锲而不舍的钻研精神，学习他们攻坚克难的勇气和实事求是的科学态度，以及他们不囿于前人成法、独辟蹊径的创造精神，从而激发和提高我们创新思维的意识和能力，增长解决问题特别是解决困难问题的勇气和才干。这对于我们有重要的“启智”作用。

与其他学科中的问题相比，数学问题中的难题最多，所以对那些思想活跃的青年学生来说，最具有吸引力。青年学生的思想就是这么奇怪：越是困难的问题，越是能够吸引他们的研究兴趣，提高他们的关注度。同时，研究数学问题，无须什么设备和条件，只要有一张纸、一支笔和一个头脑即可，因此也最容易进行。哥德巴赫猜想、费马定理等世界著名难题，能够吸引那么多人的关注和兴趣，能够那么长久地被人们孜孜不倦地研究，就是例证。

此外，我们所面临的实际问题——社会生产和生活中的现实问题，特别是那些困难问题，都可以用数学知识、数学方法来解决，即所谓“数学地”解决。

正因为如此，在数学学习和研究中，激发人们灵感思维的机会越来越多。学习数学，运用数学思想和数学方法来解决问题，特别是那些困难问题的数学解决，是人们增长智慧的最好、最为简便、最有成效的方法。

让我们在前人和古人智慧的昭示下，在数学学习和问题解决的活动中，培养自己的思维能力和创造能力，增长智慧。

数学思维之美，其最高表现形式，是数学逻辑证明之美。我们举出历史上著名的两个数学证明例证，就可以略见一斑。

例1．证明素数有无穷多个。

这是古希腊时期提出并被证明的难题之一。素数，是除了1以外，只有1和它本身两个因数的正整数，如2, 3, 5, 7，11，13, 17，19, …可以不断列举下去。但是要证明没有最大的素数，或者说素数有无穷多个，就牵涉到无穷，便成为一个非常困难的问题。欧几里得在《几何原本》中给出如下巧妙证明，既简洁，又无懈可击。证明如下：

用反证法：假如素数不是有无限个，而是只有有限个，那么就可以假设素数有n个：p1, p2, p3, …, pn。那么这几个素数的乘积加1，即N=p1p2p3…pn+1必然也是一个正整数，因此它不是素数就是合数。

因为N是两项之和，两项应该有相同的因数。它的前项是所有素数之积，故能被任何一个素数pn整除，但是N的后项是1，显然不能被任何一个素数整除。这是个矛盾，这说明N不能被任何一个素数整除。但是已经假设，所有素数都尽在于此，所以，N除了它本身外，没有素数因数，所以它必然是素数，而且与所有素数p1, p2, p3, …, pn都不同，即它是一个新的素数，而这与素数只有有限个的假设相矛盾。既然素数不是只有有限个，当然就有无限多个。命题便得到证明。

例2．证明不是有理数（即是无理数）。这也是欧几里得证明的。

证明也是用反证法。证明如下：假设是有理数，便可设为一个分数，不妨设（既约分数）。

将等式两边平方，得2q2=p2，于是p2应是偶数，因此p也是偶数。等式两边约去2，由此推出q2也是偶数，故q也是偶数。既然p、q都是偶数，那么就不会是既约分数，与假设矛盾。这个矛盾说明假设错误，即不可能是一个既约分数，所以不是一个有理数，而是一个新数，称之为无理数。

从以上两个数学难题的证明，可以看出数学逻辑证明之简洁明了，而且不容置疑。除了数学方法之外，用其他任何方法和手段，都不可能进行说明，更不用说是证明了。

我们学习数学，应该重视数学问题的研究和解决，因为问题，被普遍认为是“数学的心脏”。不仅如此，问题还是数学趣味的源泉。许多数学家、数学爱好者，都是因为对解数学题目着迷，而爱上了数学，从而选择数学作为终生奋斗的事业。

首先，数学的内容就是由问题组成的。数学定理是问题，数学公式是问题，数学例题、习题更是问题。没有问题，就没有数学。

学习数学，如果不做题目，那就等于没学。数学教师，如果不会解题，那就是不合格的数学教师，是不会受学生欢迎的。

其次，数学问题是推动数学发展的动力，数学理论正是在解决问题——理论问题和实际问题中前进的。研究数学，就是为了不断研究问题、解决问题——数学自身的问题和现实世界提出的问题。

20世纪之初，由希尔伯特在世界数学家大会上提出的23个数学问题，开启并主导了整个20世纪的数学研究，吸引了全世界数学家的目光，在某种程度上左右了百年来世界数学发展方向。多少数学家被这些问题所吸引，为研究这些问题而痴迷。

最后，数学与文学虽有巨大差异，但也有相通之处，即对于真、善、美的追求是相同的。数学中的问题好比是文学中的诗歌，都是人类思维的精华所在。一首经典好诗，可以长久地萦绕人心，让人终生不忘。其吸引人们心志的魅力，只有数学问题可以相比。一个数学问题也可以长久地存放在人们的脑海中，魂牵梦绕，昼思夜想，非求得解决不可。而且数学题越做越想做，越做越有趣。

我国著名数学家华罗庚，就是从做初等数学题起步，最终成为一代数学大家。陈景润为解决“哥德巴赫猜想”而废寝忘食，不顾“文革”中遭受的迫害，在夜深人静时，趴在厕所墙头上利用那盏小灯的微光，孜孜不倦地在草稿纸上埋头计算。是什么力量促使他能够在如此艰苦的条件下，如此长时间地努力奋斗呢？这只有一个解释：数学问题的魅力实在太大！

我国另一位著名数学家杨乐，于1979年在安师大教学大楼，为芜湖市中学生做过一次科普报告。他在回答学生“您为什么选择数学作为终身职业”的提问时说：“我对数学的兴趣，产生于中学时代，我在证明三角形垂心定理时，发现了书本以外的一种新证明方法，受到数学老师的肯定。这使我对数学产生了浓厚的兴趣和学习数学的信心，最终使我在报考大学时，选择了数学专业。”

另一个例子是安师大附中的一个学生，一个对数学痴迷的数学爱好者——王枫。他从初中一年级开始，就利用双休日到书店看高等数学书籍，一年以后，他就读完了微积分、高等代数、解析几何和半本复变函数，而且会做其中的习题，这说明他确实已经读懂了这些高等数学内容。上高中后，他两次进入中国数学冬令营，后被北大数学学院破格选录。他现在早已博士毕业，在浙大数学研究所工作。有人问过他为什么如此痴迷数学，他说是因为在小学参加数学竞赛时，受数学老师指导，做了不少有趣的题目。从此就爱上了做数学题，越做越觉得有趣。家里没有数学书看，就到书店里去看，看上瘾了。

本书作者之一——尚强本人，也是因为在少年时代就喜欢做几何题目，而爱上数学，现在还喜欢琢磨几何难题。其他许多数学爱好者的经历，也都能够证明：数学问题，确实具有特殊的魅力，是数学趣味的源泉。

数学问题本身，富含多层文化意义，承载多种人文精神。所以，在数学教学中不应排斥做数学习题。相反，应该发扬数学问题中的文化意义和人文精神，把解决数学问题作为一种研究来对待，使学生从中不仅获得数学知识，而且还能获得智慧，获得文化享受。

当然，在数学教学中，对待数学题，不能简单地重复练习，更不能搞“题海战术”，不是做题越多越好。

做数学题，首先要对数学题有所选择。题目要扣人心弦，解题要讲求思想方法，讲解解题思路要能够引人入胜，使人听了如沐春风。数学证明过程，要合情合理，令人口服心服。

数学问题，虽然并不都是现实世界的实际问题，但是即使是纯理论题目，也一定有实际背景和理论来源。而理论来源归根结底是现实问题的反映。也就是说，数学问题，大多数是现实的、具体的实际问题的模型，是其他领域里出现的问题的典型。因此，解决数学问题，可以帮助人们去解决其他领域的现实问题，可以启发人类智慧，帮助人们在科学研究中攻坚克难。所以数学解题研究本身，可以触类旁通，开启人类的心智，间接地助推社会前进。

因此，在文化数学的建设中，应该高度重视数学问题的开发，以及解题研究方法，使得问题解决（即做数学题）能够在更大的程度上激发学生的智慧。