飞越北极的北京—纽约航线

九、飞越北极的北京—纽约航线

2001年7月16日新华社报道：此前一天，7月15日，我国首次开辟“极地航线”——北京—纽约航线，途经蒙古、俄罗斯、北极地区和加拿大。此“极地航线”比原来航线缩短了一个多小时的飞行时间。关于“极地航线”可提出两个数学问题：第一，连接北京、纽约的“极地航线”的最短航程是多少？第二，这条最短的“极地航线”与北极点能够接近到什么程度？

第一个问题，是求球面上两点间的球面距离，这是一个常见的数学问题。第二个问题，是求球面上一点到一个大圆弧的球面距离，这是一个不常见的问题。我们可以用中学课本中的知识来解决它。

为此，我们首先要分析一下已知条件——北京和纽约的经纬度为北京（北纬39.9 °，东经116.4 °）、纽约（北纬40.9 °，西经73.7°），为简化计算，可以视为都在北纬40°线上。北极点N是纬度的极点，那么将两个问题化为数学问题：

（1）求A（北京）、B（纽约）两点间的球面距离；

（2）N点到大圆弧的球面距离。

解：这是球面几何问题，需要有关球面几何与球面三角知识。

设球心O，连接OA、OB、ON，构成三面角O-ABN。又设∠AON=α, ∠BON=β, ∠AOB=γ，球面△ABN的三个球面角分别为A、B、N。

在图4-9-1上，我们考虑以O为顶点的三面角O-ABN。

已知面角α=∠AON=90°-39.9°=50.1°, β=∠BON=90°-40.9°=49.1°，二面角A-ON-B=∠N=360°-（116.4°+73.7°）=169.9°；地球半径R=6370km。

这本来是球面三角的问题，我们要把它化为立体几何中的三面角的问题来解。为此，先推导有关三面角的两个有用的公式。

如图4-9-2，在三面角O-ABN中，设OA=R, ∠BON=β,∠AON=α, ∠AOB=γ。

过A作对面垂线AH, H为垂足；过H作HP⊥OB，作HQ⊥ON, P、Q分别为垂足；连接AP, AQ。则N=∠AQH为二面角A-ON-B的平面角，B=∠APH为二面角A-OB-N的平面角。

折线OQHP在OB上的射影，等于OQ、QH、HP在OB上射影之和，等于OP。而HP在OB上的射影为0, OQ、QH在OB上的射影，分别为

OQ cos β=OA cos αcos β=Rcos αcos β；

QH cos（90°-β）=AQ cos Nsin β

=OA sin αcos Nsin β

=RsinαcosNsinβ

所以，Rcos α cos β+R sin α cos Nsin β=OP=OAcosγ=Rcosγ。

约去R，便得三面角的余弦公式：

它可以和平面三角形的余弦定理相类比。

另一方面，考虑到AP、AQ在AH上的射影相等——都等于AH，容易得到APsin B=AQ sin N, OA sin γ sin B=OAsin αsin N，或sinγsinB=sinαsinN。同理可得sinαsinN=sinβsinA。

由此得三面角的正弦公式：

它可以类比于平面三角形的正弦定理。

现用公式（1）和（2）来解决我们的问题。

1．求A、B两点间的球面距离，即大圆弧（劣弧）的长。

将有关数据代入（1）式，有

cosγ=cosαcosβ+sinαcosNsinβ

=cos50.1°×cos49.1°+sin50.1°×cos169.9°×sin49.1°

=-0.1508951

查反余弦函数表得γ≈98.6788°。从而

大圆弧（劣弧）的长=×π×6370≈10970.86（km）。（π≈3.1415926）

连接A, B两点间的小圆弧，近似地等于北纬40°的纬度圈在这两地之间的一段弧长：

×π×6370×sin50°≈14469.854（km）。（π≈3.1415926）

显然，它比AB间球面距离长了约3500 k m。即极地航线比沿北纬40°航线缩短约3500 km。

2．求N点到大圆弧（劣弧）的球面距离。过N点作大圆弧与直交，交点为K。先在三面角O-ABN中用公式（1）将有关数值代入，求二面角A：

查表得A≈7.7°。

在三面角O-ANK中设∠NOK=ω，二面角A-OK-N为直角。将有关数值代入公式（2），得：

sinω=sinαsinA=sin50.1°×sin7.7°≈0.1027895

从而查表得ω≈5.9°。大圆弧（劣弧）≈656（km）。这就是北极点到最短“极地航线”的球面距离。

可见，这条最短“极地航线”已经深入北极腹地，离北极点非常近。

本章所述，关于数学的大用，只是略举数例。在20世纪70年代，华罗庚先生身体力行，亲自带领“推优小分队”，到全国多个省市和地区，大力推广优选法。本书作者之一胡炳生，作为当年“推优小分队”的一员，在浙江几个地市县，和当地工人、干部一起，运用优选法和统筹法等数学方法，对很多生产环节进行过优选改进，亲眼见到了数学在生产部门和各个环节的指导作用。

正是因为数学“大哉之为用”，所以数学之美，才更加璀璨，更加为人们所赞美。