借形表数（式）有趣味

七、借形表数（式）有趣味

数学的对象是数和形。数是无形的，而形却能和数处于一个学科之内，这是什么道理呢？原因就在于数与形是可以互相转化的：数里有形，而形中又有数。而若将这种思想运用于解决数学问题中，即能收到化难为易的奇效。请看下面的问题解决。

1．一个纯代数的问题：

解无理方程。

分析和说明：如果按照常规方法，解无理方程，要用平方来消去根号，使其化为有理方程。这就要经过两次平方，将要出现四次方程。而要解四次方程可就复杂了，且没有一般方法。

我们能否借助作图，来联系几个无理式的关系呢？

虽然这是无理方程，但是其中的无理式和的平方分别与的平方求和，答案却是简单的有理式1和x。这就给我们留下了思考空间。

若以它们为直角边作直角三角形，那么，其斜边就是1和x。多么简单！具体怎么操作呢？

思考一：以、为上下底边，以为腰，作直角梯形ABCD，如图5-7-1，则梯形面积为

而S△ADE+S△BCE=。

由此可见，S△CDE= S1-（S△ADE+S△BCE）=。

由勾股定理知，DE=1，而S△CDE=· DEsin∠CED=，所以sin∠CED=1，得∠CED=90 °。

因此，△CDE为直角三角形。过CD中点M作底边平行线ME，则ME是等腰梯形的中位线，故ME=。而ME又是Rt△CDE斜边上的中线，故DC=2ME=x。

在Rt△CDE中，用勾股定理，应有CE2+DE2=CD2，即有x+1=x2，这是二次方程，容易解得x= 。

此亦即所求无理方程之解。

思考二：前面是作等腰梯形，来联系有关的无理式，使无理方程化为有理方程（二次方程）。我们能否将作图简化一点呢？——矩形？三角形？再试一试。

试以=x为两边，作矩形ABCD，如图5-7-3，其中，连接CE、DE，由上述同样理由，知△CDE为直角三角形，从而得x+1=x2，解得

思考三：能否进一步改为三角形呢？试以为底边，以为高，作三角形，如图5-7-4。同样方法，知道所作三角形为直角三角形，于是得到关于x的二次方程：x+1=x2，同样解得

以上三种方法，发现无理方程内在的含未知数x的无理式的有理关系，从而使关于x的无理方程化成二次方程，从而大大简化了原问题。比较三种作图方法，图形的不断简化，使问题的解法越来越简单。

将数量关系转化为形（线段长度和图形面积关系），再将形还原为代数式。从中可以看出形与数的内在联系，多么和谐，多么美妙！许多代数问题和三角问题，都可以如此地去思考，化数为形，形数交融，得到美妙的解决途径。