简化，简化，再简化

六、简化，简化，再简化

问题的解决，我们希望它越简单越好。因此我们重要的思维原则，就是简单化原则，务使问题的解决方案简化，简化，再简化。如果能将其最后化归成人所共知的基本问题，那么，问题就算解决了。试想一想，我们解题的过程，哪次不是将其不断化简的过程。其实，计算机之所以能够解决那么复杂的数学题，也是简化的结果。因为事实上，计算机只能做最简单的加法——“1+1=10（二进制数）”。而将其他的运算，都化成这种运算的连缀和叠加——用一串简单的运算（程序），来表达复杂的运算。这也就是我们解题的基本策略。

例如，解方程，总是设法将其降低次数，最后化成二次方程。这样，只要利用二次方程求根公式，就一定能够求得它的解来。在解几何作图题时，总是设法运用一连串的基本作图方法来完成它。要解决任何问题，总是从最简单处入手。

（一）简化第一例

问题1（天津市数学竞赛题）：

下面哪一个数一定不是某个自然数的平方数（其中n是任意正整数）？

（1）3n2-3n+3；

（2）4n2+4n+4；

（3）5n2+5n-5；

（4）7n2+7n+7；

（5）11n2+11n-11。

这是一个很有意思的经典问题。但如果从大处想，作一般性证明，那就非常困难了。对于这类判断题，通常我们用排除法，逐步淘汰。如果看出了哪个式子是自然数的平方，它就被淘汰了。先以第一个为例。它不是平方数吗？

思考一：二次方程3n2-3n+3=k2（*）没有正整数解吗？

这是二元二次方程正整数解的判定问题，是数论中很难的问题之一，就连一般大学数学教材，都不讲。要一个中学生去做，当然很困难。但如果，在（*）式中取k为具体自然数1, 2, 3，将问题简化成：

思考二：方程3n2-3n+3=1, 3n2-3n+3=2, 3n2-3n+3=3有无正整数解？

这就变成判断二次方程正整数解的存在问题，根据二次方程求根公式，就有办法来解决。虽然稍微麻烦一点，但中学生是能够解决的。

我们再来简化一下，在（*）式中取n为具体自然数1, 2, 3，将问题变为思考三：当n=1, 2, 3时，3n2-3n+3是平方数吗？

这就变成一个简单的算术问题，连小学生都能够回答：当n=2时，该式等于9，它是3的平方，故（1）被淘汰。同理，当n=2时，5n2+5n-5=52, 7n2+7n+7=72也是平方数，故（3）（4）也被淘汰。当n=3时，11n2+11n-11=112,（5）也被淘汰。

因此，（1）、（3）、（4）、（5）都被淘汰。最后剩下的（2）必是应选之项。

这里，有人要问：为什么你不对（2）进行直接的检测呢？——其实，在思考和检验的过程中，当然要考虑（2）是否被淘汰。但当令n=1, 2, 3时，它都不是平方数时，是继续令n=4, 5, 6, …去检测它呢？还是暂时放弃它，跳过去呢？聪明的读者，一定会同意后述做法：先将（2）跳过去。因为，如果（2）就是我们要选的，那么，这样去验算，是不会有结果的。我们跳过（2），是灵活性的表现。

从上述的思维过程中，我们看到将原来极其困难的难题，一步步简化成连小学生都能够解决的问题。这不仅仅是解题的技巧，也是解题的思维原则——简单化原则所起的大作用。

问题2（2002年五羊杯初中数学竞赛初三题17）：

五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河。如图5-6-1，甲、乙表示小河，A为校本部大门，B为分校大门。为方便人员来往，要在两条小河上各建造一座桥，桥垂直于河岸。图中的尺寸是：甲河宽8m，乙河宽10m；A到甲河垂直距离40m, B到乙河的垂直距离20m；两河间距离100m, A、B两点水平距离（与小河平行方向）120m。为使A、B两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A、B两点间来往的路程是多少？

思考一：设在小河甲上建造桥CD，在小河乙上建造桥EF，则在A、B间来往的路线是折线ACDEFB。若在AA′上取AA1=CD，在BB′上取BB1=EF，连接A1D、EB1，那么，除了桥以外，从A到B在陆地上走的路程，应是折线A1DEB1。因为两座桥的长度是不能减少的，所以A、B间路程的长短，决定于这条折线的长短。显然，当且仅当A1DEB1成一条直线时，从A1到B1有最短距离，因而A、B间有最短距离。这时A1B1与甲河北岸的交点D1，就是甲河的桥址，与乙河南岸的交点E1，就是乙河的桥址。

由此得到计算方法如下：过B1作河岸的平行线，交AA′的延长线于K，如图5-6-3，则易知A1KB1为直角三角形，两直角边A1K=（40-10）+10+100+8+（20-8）=160, KB1=120，斜边=200。

从而，AB间的最短距离=200+10+8=218（m）。

思考二：设想小河甲与乙，都缩成了一条线（宽度为0），那么，显然A→A1、B→B1。而这两点之间的最短距离就是直线A1B1，如图5-6-4所示，它的长度就是A1B1==200。加上两座桥的长度，于是我们问题的答案就是：从A到B的最短路程等于200+10+8=218（m）。

相比之下，这第二种思路，简单得多，也优美得多。自然，这种优美的简单性，是在经过认真思考后得到的。因此，数学的简洁美，确实具有方法论上的意义。

对于数学简洁美的追求，往往是人们学习数学、研究数学的一种动力。有的数学题本身，就包含了某种因果关系的简单性，在解题中我们揭示出了这种简单性，就能够感受到它的简妙，得到美的享受。