序方，数字图阵新玩法

十四、序方，数字图阵新玩法

2002年，国际数学家大会在我国召开时，著名数学家陈省身先生为青少年数学爱好者题词——“数学好玩”，这对我们广大数学教师来说，有很大的启发。因为只有使得青少年学生觉得数学“好玩”，才能对它有学习的兴趣；只有对它有兴趣，才能主动地、积极地学习它。怎样才能使学生觉得数学好玩呢？除了联系实际把课本上的数学知识讲得生动有趣以外，还要不断发掘数学中有趣的题材，使其成为动脑筋的数学游戏。序方和序方分块问题，就是这样一种新的有趣的发展性的数学问题。

2002年澳大利亚数学竞赛有这样的一个问题：如图5-14-1，将三阶序方分成3块，每块数字之和（该块的值）都是15；而且每块数字都连成一整块（连通块）。

请注意，这里所说的“序方”，不是常说的“幻方”。

三阶“序方”虽然也是由1, 2, …, 9这九个不同数字组成的数字图阵，但是其中数字的排列，是顺序排列的，没有要求每行、每列数字之和相等。在数学上，相似与相同，有天渊之别。序方与幻方，只是形式上相似，但无论在性质上，还是“玩法”上，都有根本区别。

但是，由“序方”出发，产生的数学问题，却是很有趣的新问题：要把这九个数字所在方格，划分为三块（连通的整块），使得每块所含的数字和相等。

对于三阶“序方”来说，分三块，是个比较简单的问题，只要仔细想一想，便能得出答案：三块的数字组成是[6, 9], [7,8], [1, 2, 3, 4, 5],（如图5-14-2）这三块都是连通的，而且数字和都等于15。

如若序方的阶数增多（如图5-14-3、5-14-4），提出同样的问题，就不那么简单了。一般地，n阶序方是：由n2个正整数1, 2，

3, …, n2，按照自然顺序，排成n行n列的正方形数字图阵。玩法是：将n阶序方分成m个连通块，使其中每块数字之和相等。这称为“序方等值分块问题”。

序方等值分块问题，是数学家Dijiswa提出来的，被称为“Dijiswa Square”。

关于n阶序方等值分块问题，有两点值得我们注意：

第一，这是一个开放性的数学问题。一般说来，n阶序方不一定都能够进行等值分块；如果可以等值分块，也可能有多种等值分块法。

其二，序方分块中的每一块，尽管可以形状各异，但要求都是要连通，亦即同一块的所有数字都彼此相连。

为方便起见，我们将n阶序方分成等值块的块数r，称为序方的“商”；这时每一块的值，称为该序方的“r商块值”。例如，四阶序方只能分为2个等值块，即四阶序方的“商”只能取2，商值为68。但是其分法不是唯一的。例如，有下面三种不同的分法（图5-14-5至5-14-7）：

这样的分块法，是怎么发现的呢？——先盯住最大数字，看与它相邻的数字之和，若不足数，再向外扩展开来寻找合适的数字。到临近商值时，再进行调整：若不足数，则以小换大；若多余时，则以大换小。当然需要照顾到整块的要求。

但并不是任何阶的序方都能够进行等值分块。例如，五阶序方（图5-14-8）则不能进行任何等值分块。事实上，五阶序方中所有数字之和为13×25=325，如果可以等值分块的话，只能分为5块、13块或25块；5块的值是65，13块的值是25, 25块的值是13。但是25与其邻近的几个数字之和，都不可能为65，因此含有25的一块，它的值无论如何都不可能是65，更不可能是13。同样，含有24这一块的值也绝不可能是25。

而六阶序方可以分成3个等值块，等值块的商值为222。有很多种分块方法，例如下面的三种分法（图5-14-9至5-14-11）：

第一种分法

第二种分法

第三种分法

除此以外，可能还有别的分法。请读者试着去寻找。

我们还可以进一步提出以下问题：有多少种方法将六阶序方分成3个等值块？可以将六阶序方分成2个等值块，使每块的值都是333吗？可以将其分成6个等值块，使每块的值都等于111吗？等等。

下面我们来讨论八阶序方的等值分块问题。

因为八阶序方所有数字之和是2080，所以八阶序方如果可以等值分块的话，可能存在多种分块法，如下表5-14-1所列：

（商小于商块值）

下面我们只讨论商数为4的情况。这时的商块值为520。下面给出两种分法（图5-14-12、5-14-13）：

第一种分法

第二种分法

再讨论商数为2的情况，等值块只有两块，等值块的商值为1040。我们只给出一种解（图5-14-14）：

除此以外，读者还能够给出其他的分块方法来吗？

关于序方，还有其他类型的问题，例如，定值异型块的存在问题。所谓“定值异型块”，就是给予和数为定值的整块区域是否存在。如在八阶序方中，是否存在块值为100的连通的整块区域？作为发展性问题，读者可以自行研究。