几何图形之美及其应用

六、几何图形之美及其应用

对称图形具有对称美，是人们最容易感受到的形式美。

基本几何图形——直线、线段、等腰三角形、正多边形，圆、椭圆、双曲线、抛物线，以及立体图形中的正多面体、圆柱、正棱锥、正圆锥等，都是对称图形。曲线中的摆线、心脏线、悬链线、双叶线、玫瑰四叶线等，也都是对称图形。直线形端庄，正直；曲线形柔美，舒展。它们都令人心情愉悦。所以许多建筑物，都利用数学中的对称性，进行设计。例如，古希腊的神庙（图2-6-1）、中国的古塔（图2-6-2）等等，大多是对称外形。

在建筑物的构型上，直线形，可以彰显其雄伟高大，刚劲有力，多见于高大建筑物，如神庙、高楼大厦等；曲线形，则可以突出其优雅柔美，多见于桥梁、高速公路立交桥等建筑。下面列举一些著名建筑物（图2-6-3至图2-6-6）。

胡夫金字塔和帕特农神庙这两座世界著名建筑物的外形，都是可以放在一个长宽满足黄金比的黄金矩形之中。图2-6-7的加拿大国家电视塔，它的工作大厅的位置也在全塔的黄金点上。这说明从古至今，数学美在大型建筑中都有体现。

（一）数学对称美及其在解题中的应用

时间无头无尾，空间向任何一个方向都可以不断地延伸，而相对的两个方向都是对称存在的。世界万物都是对立统一的，都包含有矛盾的两个方面，这两个方面是对立的。而统一就包含在对立之中。这反映在数学上就是对称性。

正数与负数、运算与逆运算、命题与逆命题、微分与积分，以及对偶定理、对偶命题等等，都是对立统一的，都含有对称的意义，并包含奇异的和谐。正方形、菱形、圆、圆锥曲线等，都是对称图形。数学式子中的对称性，也时有所见，如对称多项式、对称不等式。

在解题时，利用图形和式子的对称性，往往可以收到事半功倍的效果。

例1．如图2-6-8，六边形ABCDEF的各个内角相等，且AB+BC=11, FA-CD=3，求BC+DE之值。

分析与求解：题目中所给的六边形，是一个不对称的图形，处理起来就比较复杂，不易发现已知量和未知量之间的联系。如果把它化为一个对称图形，那么问题就容易解决了。能做到吗？

我们来试一试。

这虽然是一个不规则图形，但其中有规则的因素：它的六个内角都相等。根据多边形内角和定理，知道它每个内角都等于120°。于是我们有以下几种方法，来构造规则的对称图形。

方法1：如图2-6-9，将各边延长，构成一个正三角形PQR。如图设线段，则AQ=FQ=f, CR=BR=b, DP=EP=d，从而，PQ=d+e+f=QR=f+a+b=PR=d+b+c，于是，BC+DE=b+d=PR-c=（a+b+f ）-c=（a+b）+（ f-c）=11+3=14。

方法2：如图2-6-10，延长BA, EF交于P，延长BC、ED交于Q。如图设线段构成平行四边形PBQE，则DC=CQ=DQ=c, AP=AF=PF=f，且a+f=c+d，故d-a=f-c=3，从而BC+DE=b+d=b+d-a+a=（a+b）+（d-a）=11+3=14。

以上证明的思想，就是将原来不规则的图形，补成规则的、对称的图形。此外，我们还可以将它补成其他类型的对称图形，如长方形、等腰梯形等。大家可以试一试。

（二）非对称几何曲线

例如，射线、不等边三角形、非等腰梯形、任意四边形、任意多边形、阿基米德螺线、对数螺线等，都是非对称图形。它们各自都有优美之处，表现之一，便是非对称的奇异美。尤其是在造型上，无论是在自然界，还是在现代建筑的体现上，都是另类“怪物”。它们突破常规，打破传统，另辟蹊径。

如自然界中许多奇异的生物，其外表奇形怪状，具有非对称的奇异之美。再如，世界著名的悉尼歌剧院（图2-6-11），其外形为曲顶蛙形，且大小、高低不同，独具魅力。而其最大的妙处是，建筑内部的聚音效果特别好，能够使任一座位上的观众，都能够清晰地听到舞台中央的歌声，回声、杂音干扰都减到最小。我国2020年通过竣工验收工作的雅西高速公路（图2-6-12），穿行在高山峡谷之间，被称为云中天路。重庆市区路网（图2-6-13），则纵横交错，多层立交重叠，充分展现了曲线之美。这些建筑都包含精妙数学思维和高超数学技术，都是数学美外化为形式美的体现。