二、勾股与测天

2025年09月26日

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二、勾股与测天

勾股定理，被认为是数学史上的第一定理，是人类智慧的结晶。但是，它在东西方数学发展史上的作用和地位，却大不相同。在中国古代，勾股定理是归纳的结果，来源于古人出于某种目的进行实际测量（例如测量日影长短，以制定历法；测量地势高低，以疏导洪水）的实际活动。而在古希腊，勾股定理则是演绎推理的结果，来源于几何理论。

相传距今约4000年的黄河流域，洪水泛滥，大禹为治理洪水，采用疏导的方法。为测量地势，他右执规矩，左执准绳，走到哪里就量到哪里。这里所说的规矩、准绳，都是测量用的工具。特别是“矩”，是最重要的测量工具之一。

图4-2-1 勾三股四弦五图

矩可以用来画直角和垂线。矩不同于现在画图用的三角板，它是由两根木条制作而成，并构成直角的曲尺，没有斜边。如图4-2-1所示，将其中较短的边称为“勾”，较长的边则称为“股”。只有当这两边构成直角时，才能准确测量高低远近。如果不垂直，那么用其来测量，便会差之毫厘，失之千里。那么怎样才能保证“勾”与“股”这两边构成直角呢？这是个非常困难的问题。

我们的祖先在多次试验和实践，经过无数次失败之后，终于发现了“勾三、股四、弦五”的定理！即取勾长为三单位，股长为四单位，若能用一根五单位长的线恰好连接勾股两边的端点成一直线“弦”，那么，这勾与股两条边，就一定垂直。由此定理（实际上是勾股定理的逆定理），便能够很方便地制作出标准的测量工具——矩。这真是个了不起的发现！

大家不要以为“勾三、股四、弦五”只不过是勾股定理的特例，并不能算是发现了勾股定理。其实，这是勾股定理最重要的特例。而且这是中国古代劳动群众，在长期劳动实践中的伟大创造。人们利用这一发现，才能判定和制作出两边垂直的矩，也只有用这样标准的矩，才能进行准确的测量。我们可以这样合情推理：人们正是从这简单的特例，逐步发现勾股定理的一般情形。而反过来，若直接用勾股定理的一般情形，是制作不出两边垂直之矩的。

中国古代的先贤们，不仅利用勾股定理（及其逆定理）制作标准的测量工具——矩，而且巧妙地利用矩或联合利用两个矩，进行各种复杂的高低远近的测量工作。其中以祖冲之进行日影测量，制定历法，最为精妙。（以下可参阅书末参考文献[12]P33-37）

中国自古以来就是“以农立国”，而农业对气候的依赖性极大。人们发现，一年的气候变化似乎与太阳的位置有关。在一年之中，日影长短是周期性变化的，与气候的寒暑交替的规律一致：中国位于北半球，在太阳底下立一根木桩，一年之中有一天木桩的日影最长，这一天被人们称为“冬至”；有一天木桩的日影最短，这一天被称为“夏至”。因为日影长时更容易测量，故把冬至这一天定为一年（回归年）的开始。那么如何才能准确地测量出日影的长度呢？首先要保证的便是木桩与地面垂直，这样测量出的日影才是准确的。

图4-2-2

要将木桩垂直于地面，抽象来看，就是要使一条直线垂直于一个平面。那么，我们应该怎么办呢？在远古时期，中国的先民们就发现如下用矩之道：将大小相同的两个矩的短边（勾）放在平地上，将两个矩的长边（股）合在一起，若能重合成一条线段，那么，这重合的股边，便垂直地面。如图4-2-2所示。实际上，这相当于一条立体几何公理：若一条直线垂直于平面上两条相交直线，则该直线与平面垂直。

历法，是年、月、日和节气安排的时刻表。但是，时间无头无尾，瞬息即变，人们是如何测定和记录它的呢？古人发现，将一根圭表（测量日影长短的标杆）竖直立于地上，一天之中它在正午时刻的影子长度最短，而在一年的不同季节里正午日影长度又是不同的：冬至最长，然后逐渐缩短；夏至最短，然后又逐渐增长。在一年之中，周而复始。

因为影子长时容易测量，故测量冬至点的日影长度，以确定一个回归年的开始时刻，就成了天文历法的重要工作。

但是，仅凭测量圭表正午影长来定冬至点的做法，是不准确的。原因是：

第一，这只能确定哪一天正午的圭表日影最长，不能确定冬至点所在的时刻。而一般说来，冬至点并不正好在正午。事实上，一年大约有365+日，如果第一年冬至点在正午，第二年就应在傍晚，第三年在半夜，第四年在早晨。所以，即使冬至点有可能在某年的正午，也要连续进行四年测量，才能确定。