从河图洛书到完美幻方

一、从河图洛书到完美幻方

相传，我国远古伏羲时代，黄河有龙马负图出水，是谓“河图”。大禹治水时，洛水又有老龟负书出水，是谓“洛书”。其实“河图”“洛书”（如图5-1-1、5-1-2所示）都是由点数排列而成的。

如果以数字代替点数，则变为由1, 2, 3, …, 9这九个数字排列而成。其中“洛书”则成为如图5-1-3所示的数字图阵。但这不是一个随便做出的数字图，其中数字排列大有讲究：它的每行、每列三个数之和，都是15。而且两条对角线上三个数字之和，也是15。这就绝不是自然之物，而是人类精妙的思维结晶。

类似这样的数字方阵，中国古代称之为“纵横图”，西方则称之为“幻方”。

上述数字图5-1-3，中国古代称为九宫，现在称为三阶幻方。13世纪，中国数学家杨辉将三阶纵横图（幻方），推广到四阶、五阶方阵，以至于其他形式的连环图。如图5-1-4所示的“四四图”，每行每列四个数字之和（称为幻和）都等于34；“五五图”（图5-1-5）的幻和等于65。他还研究出幻方的编制方法。

（一）完美幻方向宇宙昭示地球人的智慧

幻方，以其巨大的、奇妙的魔力，吸引着许多人的兴趣。世界各国研究者、业余爱好者，经过不懈的努力，不断有所发现，有所创造，并且把幻方应用到生产实验设计、网络设计等方面。

20世纪后半期，当人类把人造卫星发射上天，开启航天时代以后，便想到宇宙外星人的存在，以及如何与之建立联系的问题。

宇宙空间之大，远非地球人所能想象到的。宇宙除了地球有生命存在以外，很可能还存在其他星球有类似地球人的生命形态，即外星人的存在。这并非异想天开。如果真有这样的天体存在，其上有智慧生物，我们地球人应如何去与他们打招呼和联系呢？——写信？不行。因为彼此语言不通。

——发电报？不行。因为信息的密码不同。有什么好办法呢？

我们或许可以用图画来表达地球人的面貌和情况。但如何反映地球人的聪明才智呢？当时我国数学家华罗庚提出一个绝妙的想法：用点子表示数目，画一个四阶完美幻方，即如图5-1-6所示。如果把图中的点子数目，换成数字，它便是如图5-1-7所示的四阶数字幻方。

为什么把它叫作“完美幻方”呢？因为它实在太完美了！我们来说说它的奥妙：

1．它首先是一个幻方，具有幻方的所有性质。它每行、每列和两条主对角线数字之和都等于34。

2．若把两个幻方并起来，如图5-1-8，除了两条主对角线（用实线表示）外，还有六条斜对角线（左右各三条，用虚线表示），其上的数字之和也是34。

3．四个角上的四个数字之和也是34。

4．对边中间两个数字和也是34。

5．中间的四个数字和也是34。

6．用中心线把它分为四块，每块的四个数字和也是34！

真是太完美了！如果要用一个字来形容它的“美”，那就是——妙！实在太妙了。

这真是数学之大美，人类智慧之奇妙！

所以，将此完美幻方带上卫星，发射到外太空，可以向外星人告知地球人智慧的发展高度，以其作为彼此沟通的信使，是很恰当的。

（二）幻方的两种简单构造法

幻方神奇，一般人要想编制一个五阶幻方，若不知道窍门，那确实很难。

经过历代中外幻方爱好者的努力钻研，现在已找到多种幻方的编制方法。在此介绍两种奇数阶（不限于五阶）幻方的编制方法。

1．顺序斜排法

以五阶幻方为例，来加以说明。

先将五阶方阵，扩充至九阶方阵。

第一步，在中间的内接菱形的格子里（包括边线上的格子），从左边中间一格起，在菱形的格子里，依次写入1, 2, 3, …, 25，如图5-1-9。

第二步，将中间菱形格子以外的小格擦去，如图5-1-10。

第三步，中间五阶正方形数字图阵保持不动，将四边外的“品”字形格子剪下来，如图5-1-11的四个小图。

第四步，将这四个小图对换位置（左右对换，上下对换），并将其中的数字，按照相应的顺序，填入到大图的空格中，如图5-1-12。这样便完成了一个五阶幻方的编制，如图5-1-13。

大家可以通过计算，验证它确实是一个符合条件的五阶幻方。

2．双偶数阶对称填数法

对于双偶数（即形如n=4m的偶数），有个方便的幻方编制法。现以八（8=4×2）阶幻方为例来说明。

第一步，因为8是4的倍数，可以用横竖中心线把八阶方阵分为4个相等的四阶小方阵。

第二步，在左上的一个四阶小方阵的每行上，任意取两个格子画个小圆圈“○”，共画8个。

第三步，将此画过圆圈的小方阵，上下、左右对称地反射到其他三个四阶小方阵上。这样整个八阶方阵上的小圆圈有32个，正好占据一半格子，而另一半为空格。

第四步，从左上角第一格开始，依次写数字1, 2, 3, ……直到64。但凡是有“○”处，跳过去不写。如图5-1-14，图上有一半格子填入了数字，一半格子是圆圈。

第五步，从方阵的右下角开始，再依次填写1, 2, 3, ……直到64。不过，跳过已经填有数字的格子，仅在“○”处填数字。这样做的结果如图5-1-15, 64格都填上了数字，且64个数字不重复。这样填出的方阵，就是一个八阶幻方。

如果在开始时，换一种方式填入小圆圈，其他步骤照做，那么，我们会得到一个新的八阶幻方。可见，同一阶幻方不止一种，而是有很多种。至于究竟有多少种，这又是另一个复杂的数学问题。

幻方诞生在中国，后来才传入西方。但是现在世界各地，都有不少幻方的研究者和爱好者。有世界性的幻方组织、幻方协会、幻方刊物。中国也有很多幻方研究者和爱好者，成立了“中国幻方协会”，并出版杂志《中国幻方》。我国还有研究者创造过不少新的幻方。如安徽芜湖市的杨弋，在他年仅六岁时，就因巧解“八阶双重幻方”的最小和，而获得了中央四部委授予的“21世纪之星”称号（百名之一）。他还创制出了十阶完美幻方（图5-1-16）。

面对如此精彩绝伦的完美幻方，我们能作何评价呢？只能用一个字——“妙”！