由赌博问题引出的大学问

八、由赌博问题引出的大学问

（一）故事由来

在17世纪的法国，有个颇有文化素养的赌徒梅累，在赌博中遇到一个棘手的问题：得分问题。

先来说说当时欧洲赌博游戏的规则：一般是二人对博，双方各出同等赌资，放在一起作赌注，事先约定先得几分者为胜。每局胜者得1分，最后胜者获得全部赌资。梅累遇到的“得分问题”是：A、B二人各出金币32枚作赌注。约定先得4分者获胜，获得全部64枚金币。但是由于某种突发情况，在A得2分、B得1分的情况下，赌博终止。试问：这时应该按照什么比例来分配这64枚金币？

梅累虽然是一个熟练的赌徒，但是不能解决这个难题。于是他向法国天才数学家——帕斯卡（1623—1662）求教。而帕斯卡又把这个问题写信给他的朋友——被誉为“业余数学家之王”的费马（1601—1665）。

经过思考和研究，费马和帕斯卡从不同的思路上给出了各自的解法。

（二）费马的方法

费马的逐步排列法：设想赌局继续再进行4局，总可以得出最后结果。于是他列举出各种胜负可能情况，以计算各人的胜负可能性：

1.A胜4局，B全负，这只有一种情况——aaaa；

2.A胜3局，B胜1局，这有4种情况——aaab, aaba, abaa, baaa；

3.A胜2局，B胜2局，这有6种情况——aabb, abab, abba, baba, bbaa, baab；

4.A胜1局，B胜3局，这也有4种情况——bbba, babb, abbb, bbab；

5.B胜4局，A全负，这也只有一种情况——bbbb。

以上共有16种情况，其中有11种情况A胜；其余5种情况B胜。从而A、B二人的获胜率（机会）之比应为11∶5。因此，A应得赌金为×64=44个金币；B得其余的20个金币。

（三）帕斯卡的数字三角形法

帕斯卡则从他发现的数字三角（帕斯卡三角）出发。他设想：赌局开始，在数字三角的顶点上放一颗棋子，第一局若A胜，将棋子向左下移到第二行；若B胜则向右下移动棋子到第二行。第一局后，不论谁胜，棋子都会移到第二行。第二局后，棋子一定会移到第三行上。只是若A胜棋子向左下移一行，B胜向右下移一行。依此类推，第三局，棋子移到第四行。第四局后，棋子移到第五行。

若A胜3局，B胜1局，则棋子向左下移3次，向右下移1次。棋子移动的路线有以下四条：

1（向左）→1（向左）→1（向左）→1（向右）→4；

1（向左）→1（向左）→1（向右）→3（向左）→4；

1（向左）→1（向右）→2（向左）→3（向左）→4；

1（向右）→1（向左）→2（向左）→3（向左）→4。

则不论如何，最后棋子都移到第五行的第二个数字4上。这个数字4，恰好就是A胜3局，B胜1局的所有可能情况。

同理，第五行上第三个数字6，就是从顶点1移动棋子四次到达这个数字上的所有可能路径的总数。

因为A若胜4局、3局、2局，连同已经获胜的2局，A都先胜4局，故A胜；若A只胜1局，或全输，B才能够获胜。

因此，对应第五行上的前3个数字1、4、6就是A获胜的所有可能情况；而第五行后两个数字4、1则是B获胜的所有可能情况。于是A、B获胜的可能机会之比应为：（1+4+6）∶（1+4）=11∶5。这与上面费马的推理计算结果完全相同。

到此，梅累的得分问题，便彻底解决。

若用排列、组合符号表示，那么帕斯卡的方法和结果可以表示为：

比较两人的思路和解法，虽然后者思路要复杂一些，但是利用排列组合，可以将以上问题的解法，推广到一般情况。例如，A、B二人各需再胜m局和n局，那么，终局的棋子应该落在第m+n+1行上，且二人获胜机会之比为：

由此得分问题，引发数学家对概率论的研究，而使得随机事件的研究成为数学的重要门类。因为，在概率论问世之前，数学的研究对象虽然已经从定量发展到变量，但是对于变量之间的关系，仍然是固定的。例如行车的距离、时间和速度之间的关系一般是：距离等于速度与时间的乘积，计算公式为s=vt。然而实际上，车行进在路上，并非匀速，速度v本身是个随机变化的量。所以根据这个公式计算得到的结果，与实际结果有差距。所以，随机数学，更加接近实际情况。而由赌徒得分问题所引发的概率论，是随机数学这门大学问的源头。