双马人口论数学解析

六、双马人口论数学解析

这里所说的“双马”，是指英国人口学家马尔萨斯（1766—1834）和中国人口学家马寅初（1882—1982）。

二人虽然相距百年，地理距离也相距万里，但他们都是人口学研究方面泰斗级的专家。

世界上人口问题，都是重要的社会问题。但作为社会学的一个专门学问提出，始于英国的学者马尔萨斯，他在1798年发表的《人口论》堪称人口学的创始之作。他认为一个国家或地域的人口增长速度，与人口基数p（t）成正比，人口增长率为r，其数学模型为：

为简便起见，可以假定在短时间里人口增长率不变，即认为r是常数。于是（1）式是一阶线性齐次微分方程，容易分离变量，再积分：

由（1）=rdt，

再积分得

这就是所谓的人口增长的“指数模型”。

例如以1961年为起始时间t0，当时全世界人口基数为30.6亿，又假设增长率为r=0.02，即人口年净增长率为2%。那么，将这些数据代入公式（2），便得到：

这个数学模型究竟符不符合实际情况呢？现在对上述模型进行检验：用（3）式来计算1700—1961年间，全世界人口增长情况，结果是这200年间，每34.6年人口增长1倍。而实际情况是每35年增长1倍，与理论结果非常接近。所以，马尔萨斯人口理论，曾经盛行一时。

但是，若用该公式来预测未来人口增长趋势，则令人不安。因为（3）式表明：人口数量是时间的指数函数，当t→∞时，人口总数p（t）→∞。例如，用此公式计算2035年的人口，竟达到2200万亿！那时，地球上每个人立足的地方，只有1平方英尺，连站立都困难。这显然不是人们所希望的，因为地球的承载能力是有限的。

所以后来学者对马尔萨斯模型提出了改进意见，在微分方程的右边，增加一个“竞争项”，建立新的数学模型：

其中a, b均为常数，称为“维他系数”；第二项“-bp2”，称为竞争项。一般来说b比a要小得多。因此，当p（t）不是很大时，第二项可以省略，便成为（1）式。而当p（t）较大时，该项就必须考虑。（4）式是伯努利型的一阶微分方程，它的解为：

在（5）式中若令t→∞，则p（t）→ 。当0＜p0＜时，p（t）单调增加，函数图像大致呈S形，其拐点在p=处，如图4-6-3所示。

由生物学实验可以推算得a=0.029，根据1961年人口实际数字，算得b=2.941×10-12。

将a、b的值代入（5）式，再令t→∞，则得p（t）→=98.6（亿），这就是所预测的未来世界人口的最大值。

当然，由于世界各地社会发展情况差异很大，人口数的波动也很大，所以，公式（5）的可靠性究竟有多大，还有待于时间的检验。但是，这可以为我们制定人口政策，提供一个重要参考。

我国的马寅初先生于1957年发表了一篇重要论文——《新人口论》，提出关于我国人口控制的一种新的理论。他与马尔萨斯的不同之处是，他认为国家人口不能简单地说越多越好，而应当有所控制和计划。他的新人口论的观点是：一个国家或地区的人口增速，不仅与人口基数有关，而且应受地域资源最大承受能力的制约。每个国家和地区，都有最大可承载人口量。超过这个最大承载量，就可能造成经济和社会问题，给人们带来饥饿、疾病等灾难。中国即使地域辽阔，资源丰富，也有一个人口最大承载量（设为M）。假设现有人口为p，那么M-p就是人口增长空间。增长空间越大，增长速度就越大；增长空间越小，增长速度就应该越小。即人口增长速度不仅与人口基数成正比，与人口增长空间也成正比。于是他提出人口增长的新公式：

把上式改写为 =αp-βp2。

其中α=kM, β=k；就是人口最大承载量M 。

由此可得=dt或=dt。

两边积分，得：

最后得到人口增长公式：P（t）=。

其图像与图4-6-3大致相同。

法国和美国都曾经用此公式预测过人口趋势，计算结果与实际情况吻合。我国以此公式为依据，用1990年全国人口普查数据，若按照千分之一人口增长率计算，再由生态学家测得的α=0.029，可以算得β值约为。带入上述公式，可以算得p（t）当t→∞时的极限值：

即如果按照马老当时提出的人口政策（实行计划生育），我国人口增长的极限值，可限制在18亿以内。仁者长寿，马寅初先生活到了100岁，在2019年中华人民共和国成立70周年之际，他被评为“最美奋斗者”。