五、数与算式之美

2025年09月26日

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五、数与算式之美

（一）数字之美

数字，即1, 2, 3, …，何美之有？且看下面的举例。

1．奇数与偶数

1, 3, 5, …奇数者也，有无穷多个。2, 4, 6, …偶数者也，也有无穷多个。它们二者相间排列，构成整个正整数集合。

两个奇数之和为偶数，而两个偶数之和，仍为偶数。一个奇数与一个偶数之和却是奇数。

关于偶数有一个著名的猜想——哥德巴赫猜想：任意一个大于5的偶数，可以表示为两个素数之和（简称为N=“1+1”问题）。欧拉将其改为等价命题，任意偶数n，只要n＞5，就可表示为两个素数之和，如8=3+5，10=5+5，12=5+7，14=7+7, …有人已经用计算机对大于5的10万以内的偶数进行验证，这个猜想都正确。但是因为偶数无穷多，不可能一一验证。用实际计算去逐个验证的不完全归纳法，是无法证明此猜想的。时至今日，这个猜想，仍旧只是猜想。

在100多年前，1919年，挪威数学家布伦，将哥德巴赫猜想弱化，改作：任何一个大于5的偶数都能够表示为两个素数因子不超过6个的合数之和，简称为N=“6+6”定理（1932年已被英国埃斯特曼证明）。由此思路前进，合数的因子个数被不断缩小。到1940年，已经有人证明了N=“4+4”。这之后，我国数学家王元连续证明了N=“3+4”和N=“2+3”。

与此同时，匈牙利数学家兰恩开辟了另一条思路——大偶数是一个素数与一个不超过6个素数因子的合数之和，他证明了N=“1+6”。我国数学家潘承洞于1962年证明了N=“1+5”，紧接着，王元证明了N=“1+4”。1966年“文革”前夕，陈景润证明了N=“1+2”。这是迄今为止世界上最好的结果，被称为“陈式定理”。

你看，从一个不起眼的偶数问题，引出了如此激动人心的大问题。这真是数学花圃中的一朵奇葩。

哥德巴赫猜想，也可以用奇数来表述：任意一个大于7的奇数，可以表示为一个奇数和两个素数之和。其实质与上述猜想内容一致。因为任何一个大于7的奇数，总可以分成奇数3与一个大于5的偶数之和，这便成为前面欧拉改述的猜想的表述。

2．素数与合数

所谓素数，就是除了1与它本身以外，没有其他因数的正整数。最小的素数是2，接着便是3, 5, 7，11，13，17，19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, …除了第一个素数2是偶数外，其他所有素数都是奇数。

关于素数的第一个话题，就是素数有多少个。前面已经说过，素数有无穷多个，而且首先是由欧几里得在《几何原本》中用反证法证明的。

从素数序列的前几个素数，便可以发现，素数的分布是不规则的。在1—10区间内有三个素数，在11—20区间内却有4个素数，在21—30区间、31—40区间内各有2个素数，在41—50区间内有3个素数。那么，素数的分布到底有没有规律呢？这是个至今还没有定论的数学难题。正因为是个极难的难题，所以，一直吸引着很多数学家关注和努力攻关，虽然尚未解决，但是已经发现很多有趣的、关于素数分布的逼近公式。

3．孪生素数

在素数序列中有一些相邻的素数（两数间只隔一个偶数），如3, 5, 7（一组“三胞胎”），11与13，17与19, 29与31, 41与43等，都是孪生素数，100以内有8对孪生素数，最大的一对是71与73；1000以内有35对孪生素数，最大的一对是881与883。但与素数出现的情况一样，孪生素数也有无穷多个，其分布也无规律可言。例如在601—700之间有3对孪生素数（617与619, 641与643, 659与661），但在661—809之间，间隔超过140个数字，却没有一对孪生素数！

到2002年，人们找到的最大一对孪生素数为33218925× 2169690-1与33218925×2169690+1，是18072位的大数。但是，关于孪生素数是否有最大值，或者说，孪生素数是否有无穷多个，到目前为止，也没有定论，是个未解之谜。

4．完全数

一个正整数N，如果它的所有因数（除去它本身）之和，正好等于它自身，即被称为完全数。最小的两个完全数是6和28。试看，6的因数为1, 2, 3，而1+2+3=6。28的因数有1, 2, 4, 7，14，它们的和为1+2+4+7+14=28。

完全数，最早是毕达哥拉斯学派提出来的。他们认为这样的数非常完美，故以“完全数”命名之。欧几里得在《几何原本》中还给出一个判别完全数的定理：如果1+2+22+23+……+2n-1=2n-1是素数，则2n-1（2n-1）是完全数。6和28，分别对应n=2, 3的情况。后来，人们根据这个定理，找到一系列完全数。如对应n=5，得496；对应n=7，得8128，都是完全数。

1644年法国数学家梅森提出猜想：当n=2, 3, 5, 7，13, 17，19, 31, 67，127, 257这11个素数时，2n-1是素数。后经多位数学家验证果然如梅森所言，分别找到对应的11个完全数。其中第8个对应n=31的完全数，是由已经双目失明的欧拉，仅凭心算得出的，堪称奇迹。为纪念这位猜想大师，人们把形如2n-1的数，称为“梅森数”。不过，梅森漏掉了一个n=61（素数），其对应的M61=261-1也是一个梅森数，261-（1 261-1）是第9个完全数。到2013年为止，已经发现的梅森素数有48个，最大的一个，其数字位数超过1000万。

但是，数学家科尔于1903年却证明当n=67（素数）时，对应的M67=267-1不是素数，而是一个合数。从而对梅森猜想给出了否定证明。

这个故事说明，数学的某些猜想，在没有彻底证明之前，只能是猜想。而如果能举出一个反例，便立即给予否定证明。2010年，年仅21岁的中国年轻数学家刘路，就是用举出反例，证明（否定证明）了“西塔潘猜想”（后面还要细说）。

如果把一个正整数的所有因数（包括该数本身）相加，和等于该数的2倍，则说这个数是2倍完全数。那么，有没有3倍，以至多倍完全数呢？回答是肯定的。

据王青建编著的《数学开心辞典》（书末所附参考文献[8]）所载，现在发现的3倍完全数有6个，其中最小的是120。120的因数有1, 2, 3, 4, 5, 6,8，10，12，15, 20, 24, 30, 40, 60，120，容易求得它们的总和等于360，恰是本数120的3倍。

经数学家和数学爱好者们不断努力，人们还发现30240和32760是两个4倍完全数，以及5倍，乃至8倍完全数。目前已经发现的多倍完全数超过1000个，其中8倍完全数就有400多个。可见，仅就正整数而言，关于完全数这一个特种数，就是个“富矿”，有那么多丰厚的宝贝可挖。

5．亲和数

与完全数有关系的，是亲和数。其意义是：若A, B是两个正整数，而A的所有因数（不包括该数本身）之和等于B；B的所有因数（不包括该数本身）之和等于A。那么，就称A, B为一对亲和数。第一对亲和数是220和284，是毕达哥拉斯发现的。读者可以自行验证。自那以后，寻找亲和数的进展很慢。因为寻找亲和数，关系到两个数的因数，要发现它们，就困难多了。直到1636年，法国“业余数学之王”费马才发现第二对亲和数，17296=24×23×47与18416=24×1151（读者可以自行验证）。其后笛卡尔也找出一对亲和数（据书末参考文献[10]）。到1750年，大数学家欧拉一口气找出59对亲和数（他发表的62对亲和数中有3对错误）。欧拉的杰出数学发现，鼓舞了很多后来者，不断发现新的亲和数。至今人们已经发现1000万多对亲和数。其中有一对较小的亲和数（1184和1210）是由一个16岁的小男孩发现的。

亲和数的推广形式，是多个正整数因数之和循环一圈：A的因数和等于B, B的因数和等于C, ……最后又回到原来的A。例如12496（A）的真因数（不包括该数本身）之和为14288（B）, B的所有真因数之和等于15472（C）, C的真因数之和等于14536（D），而D的真因数之和等于12496，又回到了原来的正整数A。于是A→B→C→D→A形成5个循环亲和数。

6．雷劈数（卡普利加数）

印度数学家卡普利加（Kaprekar）在一次雷阵雨后，见到公路旁一块标有数字3025的里程碑被雷劈为两段，其两块上的数字分别为30和25。作为数学家，卡普利加对数字有特殊的敏感性。他敏锐地发现这两个数字之间有着巧妙的联系：两块上的数字相加之后再平方，竟又回到原来的数，即

（30+25）2=552=3025

于是，人们便称这类数为卡普利加数，或雷劈数。

这种奇怪的“雷劈数”，还有别的吗？至今人们已经找到几十个这样的“雷劈数”。例如：01, 09, 45, 99, 703, 22222, …

452=2025，而20+25=45；

992=9801，而98+01=99；

7032=494209，而494+209=703；

222222=493817284，而4938+17284=22222；

…………

近来，有位数学老教授李长明先生发现一类有趣的卡普利加数。文章发表在《高等数学研究》上。

7．数字排列和移动

a）将1, 2, 3, …, 9这九个数字排列成三行，使其成三个三位数a, b, c，能否使b=2a, c=3a？这是一个实习教师，面对一群顽皮的初二“差班”学生临时想出来的一道智力游戏题。谁知，就是这道数字排列题，把躁动的学生“镇住”了，使得他们逐渐安静下来，认真思考。而且有一位学生居然还想出了一个正确答案。这说明有趣的数学题，能够引起学生的兴趣，促进其对数学题目的积极的思维活动。

那么，这个数字问题的答案是什么呢？那个学生首先得到的答案如下：

a=327, b=654, c=981。

其实，除此以外，还有三组答案：

a=273, b=546, c=819；

a=192, b=384, c=576；

a=219, b=438, c=657。

至于是否还有别的答案，倒是个困难的问题。因为，一时找不到，并不等于不存在其他答案。这需要仔细分析，排除一切其他可能。

b）在等式中能够移动的数字

一般来说，在一个确定的数字等式中，各个数字的位置是固定的，不能随便移动。不然，等式便要被破坏。但是有的等式中的数字，却很奇怪地可以移动，而使等式仍然成立。当然这种情况是罕见的。正是因为罕见，所以人被好奇心驱使，容易产生研究兴趣。《数学开心辞典》中提供了一些有趣的实例。

例1．在由1, 2, …, 9组成的等式18×297=5346（数字不重复）中，能够将其中的数字9，从297中移动到1,8之间，而使得等式仍然成立，即198×27=5346。

你感到惊奇吗？这就是数学的奇异美！你还能发现其他类似的能够移动数字的等式吗？——请看：

例2.27×594=16038，将9移动到2与7之间，而得297×54=16038；36×495=17820，将9移动到3与6之间，而有396×45=17820。

这两个等式中的9，都从乘式的第二个数中移动到第一个数的两个数字之间。多么奇怪，又多么美妙啊！至于其他类型的等式中也有类似怪异的现象出现。

例3．以下无理等式，数字可以自由进出根号：

一般的有：

可见，数字移动到根号外，是有理论根据的，并非随便移动。

数字能够移动，运算符号也能在等式中移动。例如：

例4.8×767123287=876712328×7

奇怪吧！算式中数字的顺序没有变，而其中的乘法符号“×”，却从开头移动到了末尾。

后来人们还发现数字等式中指数符号也能够下移。请看：

例5.25×92=2592；34×425=34425。

例6.；。

数字等式中这种数字、运算符号移动的奇异现象，还有许多。读者可以在书后的参考文献中找资料去看，或者自行研究。或许能够发现数字等式中一些新的意想不到的奇异之美。

（二）异形算式的奇异美

1．循环节的循环

这是以7为分母的单位分数，是个循环小数，循环节为6位。若将这个循环节6位小数分别加倍，便得到其各个倍数如下：

2×142857=285714；

3×142857=428571；

4×142857=571428；

5×142857=714285；

6×142857=857142。

若再以7相乘，则得全9数：7×142857=999999。

其实，如此情况是有数学理论根据的。凡是素数p，以p为分母的单位分数，有p-1位数字循环节，则必有以此循环节倍数循环的现象；若以p相乘，则必得全9数。例如以19为分母的单位分数，是个有18位小数循环节的循环小数。其循环节的倍数，也有类似现象。

2.“吉祥数”8

8，这个普通的数字，在某些地方（如我国南方）被美化，甚至是被神圣化。例如，宾馆或酒楼，即使是二、三层楼的房间（包间），也要编号为281, 282, …或821,822等等。

在数字算式中，含8的数字，也有特别的花样形式。

例1．正整数的平方数的末尾数，只能是0，1, 4, 5, 6, 9，不可能是8。但是正整数的立方数的尾数，却可以是8,88,888。

立方数的末尾数为8的正整数尾数只能为2。经检验，一位数只有2一个；两位数有两个：42和92，它们的立方数的尾数均为88:423=74088, 923=778688。

立方数尾数为888的正整数只能是三位数，共有四个：192, 442, 692和942。

例2．数字8的魔力分数数列：

,,,,, …,

分子递减，分母递增。这个分数数列，还可以延续。分子依照递减法则，应该为：9876543210, 98765432100+（-1）=98765432099，987654320988, 9876543209877, …分母则递增，应该加10，但又只增加一位，故为1234567900，以下应该是12345679011，123456790122，…若寻其规律，分母可表示成无穷级数，分子则为。