追求π精确史上的数学巧思

四、追求π精确史上的数学巧思

（一）人类对于圆周率π精确近似值的不断追求

在前面，我们已经对圆周率π近似值的研究历程，做过叙述。大致分为三个时期：几何方法（割圆术）时期、分析时期以及机器计算时期。目前用计算机求得π的近似值已经超过10万亿位，远远超过实际运用的需要。但是，无论是在初期人们手工计算，还是运用分析公式计算，都经历了十分艰难的过程。例如最后一位手工计算纪录创造者——数学家鲁道夫（1540—1610），用割圆术几何方法，计算出圆周率小数点后35位准确值，创造了用几何方法计算的最高纪录，为此，几乎用尽了他一生的精力。而人类在追求π精确近似值上花费了几千年的漫长时间。

分析时期，从法国数学家韦达（1540—1603）开始。他发现π的无穷数列或无穷分析表达式，开始用分析方法，来求得π近似值，到1947年美国人伦奇用分析方法，手工计算出π的808位小数近似值，创造人类用纯手工计算的最高纪录。就是说从π的35位小数提高到808位，用了将近300年。而自从1946年人类发明电子计算机以后，利用计算机编程，上机运算，得到的π值的小数位飞速上升。1949年第一次用电子计算机计算，就得到π的2037位小数近似值，以后更是直线上升：

1961年：100265位；

1967年：500000位；

1983年：8388608位；

1989年：超过10亿位；

1995年：达到64亿位……

可见，数学发展之快，其中计算技术和计算方法的更新换代，显示出巨大威力。

然而在数学史上，对于π近似值的探究中，也有一些奇葩的故事。其中所蕴含的数学思想方法，特别是一些奇思妙想，有着精彩的思维之美，值得我们欣赏和借鉴。

（二）阿基米德首创割圆术

公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德（前287—前212）首创割圆术，用圆的内接正多边形和外切正多边形，不断倍增其边数，用其周长来不断逼近圆的周长。阿基米德用圆的内接正n边形周长Cn、外切正n边形周长Pn，从内外两方面来逼近圆周。并且用几何方法，证明了关于Cn和Pn的递推公式：

即圆内接正2n边形周长C2n是内接正n边形周长Cn与外切正2n边形周长P2n的几何平均值；而圆外切正2n边形周长P2n，是内接正n边形周长Cn与外切正n边形周长Pn的调和平均值。

若将圆外切正多边形与内接正多边形周长，从六边形开始，排列成一列：

若设圆的半径R=1，那么，C6=6, P6= 。于是，从数列的第三项起，利用这两个公式，就可以依次计算P12, C12, P24, C24等值。多么简单！

公式的证明，只需要以多边形的一边来进行考虑即可。简证如下：

如图5-4-1，设AB=an为圆O内接正n边形边长，AF=BF= 为圆O外切正n边形边长之半，AC=BC=a2n为圆O内接正2n边形边长，DE=b2n为圆O外切正2n边形边长，而C为DE的中点。则由△ADC∽△ACB, △AFB∽△DFE，从而有 = AC2=AB·AD，即

及，即

将（2）式两边同乘以（2n）2，有=（2n）2 · 。此即 =CnP2n或C2n=；亦即C2n是Cn, P2n的几何平均值。

将（3）式两边同乘以，有，或。两边除以Pn，得或，亦即P2n是Cn，Pn的调和平均值。

他发现的这两个递推公式是很高明的。这样就能从正6边形开始，利用这两个递推公式，倍增圆内接和外切正多边形的边数，依次计算得圆内接、外切正12、24、48、96边形周长序列（1），从而得到，其中D是圆的直径。由此求得圆周率π的近似值，以及其上界和下界。如果取π精确到0.01的近似值，那就是π≈3.14。

（三）刘徽对割圆术的改进

刘徽是中国魏晋时期（公元3世纪）的数学家。他呕心沥血为《九章算术》作注，为中国古代数学作出了许多杰出贡献，其中就包括他所独立创造的“割圆术”和“徽率”。

《九章算术》第一章“方田”三十一、三十二题是圆的面积计算题，用的公式为“半周×半径=圆面积”；在具体计算时，以π=3入算，即圆面积=3×半径×半径。（1）

结果误差较大。对此，刘徽作了长篇注文，以求改进。

他首先指出，以π=3按公式（1）算出的结果，不是圆的面积，而是圆内接12边形的面积。为什么呢？请看图5-4-2：设圆半径为r, ABCDEF为圆的内接6边形，其一边之长AB=r。

现将圆内接正6边形“割”成正12边形。其中四边形OAPB是筝形，它的两条对角线AB和OP互相垂直且都等于半径r，它的面积等于×AB×OP=×r×r。

而圆内接12边形恰好由6个这样的筝形组成，所以，它的面积是S12=3r2。因此，用公式（1）来计算圆的面积，显然是不妥当的。若以π=3作圆周率来计算圆面积，会造成较大误差。

其次，他进一步将圆内接正12边形“割”成正24边形、正48边形、正96边形，并用这些圆内接正多边形的面积来近似表达圆的面积。

为了求出这些多边形的面积，他设圆的半径为1尺，用勾股定理算出它们一边之长a12, a24, a48, a96。仿照上面的办法，用筝形面积公式算出圆内接正96边形和内接正192边形的面积：

最后，推导不等式（现称“刘徽不等式”）：

S192＜S圆＜S192+（S192-S96）

在图5-4-3中，设AB为圆内接正96边形的一边，AC=BC为圆内接正192边形的相邻的两边，EF为过C点的切线，ABFE为矩形，OC=OA=OB为半径。显而易见，扇形O-ACB的面积S扇界于筝形OACB面积S筝与五边形OAEFB的面积SOAEFB之间：

而SOAEFB-S筝=S△ACE+S△BCF=S△ACD+S△BCD

=S△ABC=S筝-S△OAB

故

将（3）式代入（2）式右边，得

将（4）式两边同乘96，得

一般地，对于正整数n而言，我们有刘徽不等式S2n＜S圆＜S2n+（S2n-Sn）。将S96、S192的数值代入（5）式，得

“弃其余分”之后，求得近似值S圆≈314（方寸）。因为圆的半径为1尺，所以间接地求得圆周率π≈3.14。

前面说，刘徽独立地创用割圆术，但在世界科学史上，“割圆术”不是刘徽的首创，而是古希腊数学家阿基米德的首创。这并不妨碍尊重刘徽的独立创造之功，而且不等式（2），确是刘徽的个人创造，现在我们仍然把它叫做“刘徽不等式”。利用这一不等式，只需要计算圆的内接正多边形面积，不用再计算圆的外切正多边形面积，就可以同时得到圆周率的上界和下界。这也是刘徽工作的优点。

（四）从3.14到3.1416

阿基米德和刘徽，都是用割圆术算得π≈3.14，只有两位小数近似值。

这在精密计算中，略显粗糙。如何能在割圆术的基础上，进一步提高π值的近似小数数位呢？中国古代数学家祖冲之（429—500）做出了重大贡献。他先将3.14提高到3.1416，以后又进一步创用新法，得到π的七位小数近似值，并将这一纪录保持一千年以上。这节先讲他是如何得到π的四位小数近似值3.1416的。

π的两位小数近似值3.14，在我国常被称为“徽率”。而四位小数近似值3.1416，因为远比3.14精确，因此也被称为“优率”。

“优率”出自《九章算术》注中，但这段文字是刘徽所注，还是祖冲之所注，至今未有定论。若为刘徽所注，则在公元263年之前；若为祖冲之所注，则在公元462年以前。不论何者（依据作者考证，这段文字系祖冲之所注），在世界上都是最早的。国外，它最早出现在印度数学家阿耶波多（476—550）的《阿耶波多历算书》（499年）中，比中国的文献要晚。

从3.14到3.1416，不仅是精确度有很大的提高，而且在推导的方法上也有本质上的改进。从《九章算术》关于推导“优率”的注文来看，优率的导出，用了“外推归纳法”。方法如下：

刘徽在求得徽率的计算时，设圆的半径R=1（尺），圆内接正6、12、24、48、96、192边形的面积已经求得，分别为

S6=2.598076, S12=3，

S24=3.1058286, S48=3.1326286，

为了估计Sn随着n增大的变化趋势，作上述数列前后两项之差，得到以下“差幂”序列：

△6=S12-S6=0.401924, △12=S24-S12=0.1058286，

△24=S48-S24=0.0268, △48=S96-S48=0.006716，

作此序列后项与前项之比，得差幂的增长率序列：

与前两个序列相比较，序列（3）有按比例变化的趋势（可以称为“拟等比数列”）。如果以正12边形S12为准（即“以十二觚之幂为率消息”），它与前后项“差幂”之比σ12≈0.26作为此“拟等比数列”公比的话，那么就能“外推”得：

三式相加，得S1536-S192=0.26× 。

于是得到

S圆≈S1536=S192+==3.1416（尺2）。

考虑到圆的半径为1（尺），所以得到的圆面积值，就是圆周率近似值π≈3.1416。这便是“优率”的由来。

从以上推导过程来看，仅根据刘徽已有的数据，无须继续割圆，就得到如此高精确度的“优率”，实在巧妙得很！在方法论上，是一个了不起的创造。

（五）祖冲之发现“盈朒”二数的巧思

我国古代伟大的数学家祖冲之（429—500），以其关于圆周率研究的杰出成就享誉世界。他求得“盈、朒”二数：

3.1415926＜π＜3.1415927

领先世界超过千年。可惜由于祖冲之的著作《缀术》早已失传，他究竟是怎样推出这“盈、朒”二数和“祖率”的，却成了千古之谜。作者曾经根据《隋书·律历志》等史料，比较了刘徽和祖冲之关于圆周率研究的异同，提出了对祖冲之关于“盈、朒”二数算法的合情推理，以探求祖冲之伟大创造的思路和方法。其思想方法大致如下：

1．刘徽设圆的半径为1单位（尺），从计算圆的内接正多边形面积出发，通过求圆面积，间接地求得圆周率近似值——徽率π≈3.14。祖冲之则设圆的直径为1（丈），计算圆内接正多边形的周长，直接得到圆周长的近似值，从而求得圆周率近似值。为了使计算简化，他导出了圆内接正多边形周长的递推公式：

证明如下：如图5-4-4，设圆直径AP=d=1（丈）, AB=an, AC=a2n, CE=cn，于是

由Rt△CAE∽Rt△APC，得CE∶AC=AC∶PA，即cn∶a2n=a2n∶d，从而。

将d=1（丈）代入，再乘2n2，便得公式（1）。

2．计算圆内接正多边形周长序列{Ln}前几项，求其差序列和比序列，并以此来探究Ln的增长趋势。

从L6=3开始，利用公式（1），依次算出L12、L24等。每次开方取8位小数，并对第8位小数“四舍五入”，得

其中圆括号（）内的第8位小数已按四舍五入处理过了；以下同此。

做序列（2）前后两项的差序列：

再做序列（3）后项与前项之比序列：

由此可见，序列（3）似乎逐渐趋向于一个定值（0.25），因此称此近似的等比数列为拟等比数列。

取λ=λ192为此拟等比数列（3）的“公比”，来估计L384, L768, …, L12288之值。

假设拟等比数列（3）从△192以后为以λ为公比的等比数列，那么便得到递推公式：

△384=L384-L192=λ△192，

即L384=L192+λ△192=3.1415576（9）。

同理可得

L768=L384+λ△384=L384+λ2△192=3.1415839（8），

L1536=L768+λ3△192=3.1415905（6），

L3072=L1536+λ4△192=3.1415921（0），

L6144=L3072+λ5△192=3.1415925（1），

L12288=L6144+λ6△192=3.1415926（1）。

若用L12288作圆周的近似值，再用刘徽不等式，就得到了盈、朒二数：

L12288=3.1415926＜L圆=π＜L12288+（L12288-L6144）=3.1415927。

从上述合情推理可以看出，祖冲之在计算圆周率“盈、朒”二数过程中，不囿于前人成法，表现出了高超的数学智慧和创造精神。祖冲之的这一数学成就超越时代千年之久，真是个奇迹。