第二节 归纳推理
2．1 主观地不充分置信的推理
主观地不充分置信的推理是这样的推理: 我们依靠以一定置信度被接受的前提，达到以比前提的置信度较小的置信度去接受结论。例如，当我们由对前提的无条件接受出发，考虑到虽然前提真，结论也可能被表明是假的; 这样，我们并非无条件地接受了结论，这就是主观地不充分置信的推理。如果对前提的充分置信的接受是合理的，并且根据这一点，我们对结论的置信度较小的接受也是合理的(虽则不能说对结论的充分置信的接受是合理的)，这种推理就是正确的。例如，过去我们每次拧开水龙头时都有水流出的事实，使这个虽并不充分置信，但几乎有把握的期望是合理的: 这次拧开水龙头也会有水流出。但我们以前的经验并不使完全置信是合理的。
如果依靠对前提的充分置信的接受，我们有权利同样地以充分置信去接受结论，就是说错误的可能性被排除了，那么在前提和结论之间必定有推断关系; 这一关系排除了前提真而结论假的可能性。但如果我们只要求有权利以并不充分的置信度去接受结论，也就是说，我们承认，即使我们完全置信地接受前提，结论的接受也可能是错误的，那么在前提和结论之间就不需要有像推断关系那样严格的联系。它们之间只要有比推断关系较弱的联系就足够了。这种较弱的关系就是前提给结论以一定程度的证据支持。演绎的推断关系是最大的证据支持; 与之相对照，我们可以把那种稍逊的支持关系叫做归纳支持关系。
2．2 归纳强度
与演绎正确性不同，主观地不充分置信的推理的正确性有程度上的差别: 前提对结论的关系并不是或者支持或者不支持，而是给予较强或较弱的支持。因此，我们下面就用归纳强度的概念来代替这个正确性概念。我们不谈这个推理是否正确，而评价这种推理的归纳强度的高低。
一个主观地不充分置信的推理的前提如果给结论提供了好的证据，即是说，在前提真的条件下结论假是难以置信的、不大可信的(improbable)，那么这个推理就是归纳地强的。归纳强度的高低决定于前提给予结论的证据支持度的大小。
定义6: 当且仅当一个主观地不充分置信的推理在前提真的情况下结论假是不大可信的(亦即结论是概然的)，这个推理才是归纳地强的。
下面是归纳强度高的推理的例子:
例1:
水星上有有智慧的生物;
金星上有有智慧的生物;
地球上有有智慧的生物;
木星上有有智慧的生物;
土星上有有智慧的生物;
天王星上有有智慧的生物;
海王星上有有智慧的生物;
冥王星上有有智慧的生物;
火星上有有智慧的生物。
请注意: 这个推理的结论本身并不是可信的或概然的。但在给定前提真的条件下，结论的假是不大可信的或难以置信的。就是说，如果前提是真的，那么以那些知识为根据，结论的真便是概然的(即它的假是难以置信的)。这一点并不受下述事实的影响: 有些前提本身是不大可信的。这样，虽然有些前提本身和结论本身都是难以置信的，但给定前提真，则结论真是概然的。这个例子说明了一个重要原则: 为推理的归纳强度划分等级的这种置信度，即概率(归纳概率)，既不由前提本身决定，也不由结论本身决定，而由前提和结论之间的证据支持关系所决定。
例2:
石家庄有一个三百多岁的人;
石家庄有一个三百多岁的人长了两个头。
如果前提真，那么结论假是概然的。因为三百多岁的人很可能只长一个头，所以这个推理不是归纳地强的。但结论假并且前提真便是难以置信的。因为石家庄要有一个只长一个头的三百多岁的人，才会是结论假并且前提真，但并没有这样的人，因此前提真并且结论假是难以置信的。这单纯是由于前提不是概然的。
虽然这个推理的前提真并且结论假是难以置信的，但若给定前提是真的，结论假便是概然的。所以这个推理不是归纳地强的。一般说来，前提真和结论假之所以不是概然的，也可能单纯由于结论假是难以置信的，即结论真是概然的。这种情况同样不能保证推理是归纳地强的。试看下面这个例子。
例3:
石家庄有个人活到了二百九十九岁零十一个月，
身体还挺结实;
没有人活到三百岁。
这里结论本身的概率很高，结论假是难以置信的，因而结论假并且前提真便不是概然的。但给定前提真，则结论假是概然的。结论本身虽然是概然的，但如给定前提真，则结论就不是概然的。所以这个推理不是归纳地强的。这个例子表明，结论真的概然性并不保证推理的归纳强度高。
关于归纳强度的讨论可以概括为下面这几点:
(1)一个推理的归纳概率就是在给定前提真的条件下它的结论真的概率。
(2)一个推理的归纳概率是由它的前提和结论之间的证据支持关系决定的，并不决定于前提的概率，也不决定于结论本身的概率。
(3)一个推理是归纳地强的，当且仅当:
a． 这个推理是合理的，即它的前提使结论具有概率P; 也就是说:对前提的充分置信的接受，使以不超过置信度P接受结论成为合理的。
b．概率P＞
。
2．3 演绎逻辑和归纳逻辑
演绎正确性和归纳强度是评价前提和结论之间的证据联系的两种不同标准。相应于这两种标准便有逻辑的两个分支: 演绎逻辑和归纳逻辑。演绎逻辑的任务在于研究如何检验演绎正确性(决定一个推理是否演绎地正确的规则)和构造正确的演绎推理的规则，归纳逻辑的任务在于研究测定不充分置信的推理的归纳概率，从而决定它的归纳强度的规则，并且研究构造归纳强度高的推理的规则。
2．4 认识概率或主观概率
归纳概率适用于推理，是前提给结论提供的证据支持度的测度。
适用于推理的前提或结论本身的(即适用于个别陈述的)是另一种概率。例如，“石家庄有一个活到三百岁的人”这个陈述的概率很低，是靠不住的。这是与归纳概率不同的认识概率或主观概率。
一个陈述的主观概率就是我们在接受一个陈述时所持有的对这个陈述的置信度。任何陈述都不是孤立的，它存在于我们的全部知识中间。因而一个陈述的主观概率完全决定于我们的相关知识是什么，它是从我们的全部相关知识来看所具有的置信度。这样一个陈述的置信度因人而异，并且随时间而变化。因为不同的人在相同时间有不同的知识储备，同一个人在不同时间也有不同的知识储备。
对同一个人来说，一个给定陈述的主观概率随时间而不同。由于在这个人的知识储备中增添了新的知识，这个陈述的主观概率可以提高或降低。
例4:
(1)X先生是波土顿的东方地毯商人;
(2)波士顿是美国的城市;
(3)美国东方地毯商人中百分之九十是亚美尼亚人;
X先生是亚美尼亚人。
“X先生是亚美尼亚人”这个陈述的主观概率相当于例4推理的归纳概率。从前提(1)(2)(3)所构成的知识储备来看，这个陈述的概率相当高。如果再增加下面这一点新知识: 虽然美国的东方地毯商人有百分之九十是亚美尼亚人，波士顿的东方地毯商人却只有百分之二是亚美尼亚人，而百分之九十八却是叙利亚人; 那么，这个陈述的主观概率就大大地降低。
例5:
(1)X先生是波士顿的东方地毯商人;
(2)波士顿是美国的城市;
(3)美国东方地毯商人的百分之九十是亚美尼亚人;
(4)波士顿的东方地毯商人的百分之二是亚美尼亚人;
X先生是亚美尼亚人。
因为例5推理增添了一个前提(4)，它的归纳概率便很低。从推理者现在的相关知识储备来看，“X先生是亚美尼亚人”这个陈述的主观概率应相当于例5推理的归纳概率。因此，此概率就大大地降低了。
假定推理者又有了新的知识: X先生是波士顿亚美尼亚俱乐部的成员，而百分之九十九的亚美尼亚俱乐部成员都是亚美尼亚人。这就构成了一个新的推理:
例6:
(1)X先生是波士顿的东方地毯商人;
(2)波士顿是美国的城市;
(3)美国东方地毯商人的百分之九十是亚美尼亚人;
(4)波士顿的东方地毯商人的百分之二是亚美尼亚人;
(5)X先生是波士顿亚美尼亚俱乐部成员;
(6)亚美尼亚俱乐部成员的百分之九十九都是亚美尼亚人;
X先生是亚美尼亚人。
作为结论的这个陈述的主观概率等于上述新推理的归纳概率。这样，该概率便又变得很高了。
主观概率很重要，它是我们作出决策的基础。我们由自己的储备知识出发，应用归纳逻辑，得到同某个陈述相关联的主观概率，再根据这个主观概率采取一定的行动。归纳逻辑怎样给我们提供主观概率呢? 这决定于我们假设什么样的知识模型。
一般经验论者都假设知识的确实性模型。按照这个模型，观察是知识的基础。观察使个别语句真有确实性，而其他语句的概率则导源于这些基础句的确实性。我们的知识储备包括一系列的语句，即观察报告。这样，要评价一个陈述的主观概率，便需考察这样一个推理:这个推理的前提由我们的全部相关知识储备构成，这个推理的结论就是那个待评价的陈述。这个推理的归纳概率将决定该待评价陈述的主观概率。
定义7: 在确实性模型中，一个陈述的主观概率就是以该陈述为结论，以我们的知识储备中所包括的一切相关的观察报告为前提的那个推理的归纳概率。
这个确实性模型给每一个观察报告分配概率1。
我们也可以假设一个更符合实际的可误性模型。按照这个模型，观察使合适的观察报告似真，但没有确实性。在这个模型中，我们的知识储备不再由简单的观察报告构成，而是由配以一定概率的观察报告构成。
P(O1) =0．99
P(O2) =0．87
P(O3) =0．95
根据这样一种知识储备来计算语句S的概率是比较复杂的。在确实性模型中只用一个推理，现在就不行。还必须考虑下列推理的归纳概率:
因为关于O1，没有多大问题。但关于O2我们有百分之十三的概率搞错，关于O3有百分之五的概率搞错。必须把每一个错误和错误的合计都考虑进去，然后又把所有这些推理的归纳概率以完全正确的方式相加起来，才会得到S的主观概率。
2．5 概率和归纳逻辑问题
可误性模型非常复杂，在本书中我们不拟讨论。下面我们谈的主观概率都是确实性模型中的主观概率。
归纳逻辑的一个关键问题是: 归纳概率恰好是什么? 这是一个尚未解决的问题，我们在上述定义中没有加以分析。这个问题同下面两个问题有关: (1)怎样测度一个推理的归纳概率? (2)什么是构造归纳强度高的推理的规则? 归纳概率的确切定义问题的解决，将使测定推理的归纳概率问题和构造合理的主观地不充分置信的推理即归纳强度高的推理的规则问题获得解决。
归纳概率的定义和测定推理的归纳概率的方法以及构造合理的归纳推理的方法一起，构成归纳逻辑。归纳概率的不同定义将导致不同的归纳逻辑。
可以有各种不同的归纳逻辑。我们需要的是同常识与科学实践一致的归纳逻辑系统。一个把我们关于归纳法的直觉判断清楚准确地表述出来，并给予说明和精确化的系统，可以叫做科学的归纳逻辑。现在要讨论的就是如何构造这种归纳逻辑的问题。
另一个重要问题是科学的归纳逻辑的辩护问题。在许多不同的归纳逻辑中间，有一种同科学归纳法直接对立的，也同科学实践与常识完全不一致的归纳逻辑。为什么我们要用科学的归纳逻辑作为形成我们对未来的期望和作出决策的工具，而不用另一种归纳逻辑呢?
所以，归纳逻辑有两个主要问题要解决:
第一，哪些是构造归纳强度较高的推理的规则? 能否把这些规则形式化?
第二，如何为这些推理规则辩护?