第二节 效 用
2．1 偏好的次序关系
当你作出决策时，你的选择显然以某种方式和你所要达到的目的或你的需要有关。什么是你所需要的，便对你有效用。让我们回到那个简单的决策问题。你要立即过街，为了能赶上对面刚到站的公共汽车，以便按时达到目的地。你宁愿按时乘车到达，这是你的偏好(preference)。当然你不希望发生事故，被车辆撞倒，宁愿安全地过街，这也是你的偏好。在你考虑采取什么行为时，便会权衡轻重，究竟哪一个偏好，是按时乘车达到目的地还是不发生事故，对你有更大的效用。你实际上采取什么行动将决定于三件事: 这些结果对你的效用，你所晓得的安全过街的概率和你个人的情况(目前的需要和以前的经验)对于你的行为的制约作用。
你对不同结果的相对的偏好可以通过效用的次序关系(utilityord-ering)来表达，也可以通过效用的确定数值来表达。效用是偏好的定量化: 给这些不同的结果分配实际的数值是可能的，这些值就叫做效用。但这些值不必是金钱价值，甚至也不必是以金钱单位来计算的。就是说，效用的大小不必和金钱价值的大小成比例。如果是为了比较对两个结果的偏好强度而使用效用概念，确定它们的相对的值即次序关系也就足够了。
效用论的基本假定是: 人们事实上采取这一个或那一个行为。这样做时他们是作出对不同结果的偏好的反应。我们怎样能够表示和说明这样的行为呢? 第一，假定个人应当遵循一定的逻辑规则来处理他的各个偏好，似乎是可取的。如果这些规则被遵守，就可以(至少不明显地)得出: 他是给不同的结果分配数值(效用); 这些效用基本上是唯一的并且是原则上能够决定出的; 而且在表达他对一个结果的偏好超过另一个结果时他是在明显地宣称: 这一个结果的效用大于另一个的效用。更有进者，可以得出: 如果面对着可以以不同的概率各自发生的各种不同的结果，便能够给这个混合结果分配一个值，作为在不同的混合结果之间作出选择的自然基础。就是说，对结果的集(一个抽彩给奖法或赌博)的概率分布有一个效用。这个效用理论还提出可以这样地表达一般的决策过程: 把每个可能的行为表示为一个抽彩给奖法或赌博，而所采取的合适行为就是那个在这种“混合结果”意义上有最大效用的行为。由于在这个理论构架中将发生的结果是未知的，仅仅是可望实现的，我们将用“前景”(prospect)一词(暂不用“抽彩给奖法”或“赌博”)来描述一个“混合结果”。
2．2 对前景的偏好
仅仅考虑对不同结果的偏好是不够的。实践上我们并没有对不同结果的自由选择，因为有我们所不能控制的偶然因素在起作用，例如，前面谈到的影响你的选择的可能状态: 这是一个随机变量。按照实际情况，我们所面对的是在对结果的集的不同概率分布之间进行选择。假定我们把准备要采取的行为α固定起来，便会发生可能结果的一个变程(α，θ/H)(α表示行为空间中的一个行为，θ表示影响行为的偶然事件或可能状态，H表示那个制约着我们对结果——行为和状态的结合——的反应的局部环境)。每一结果的出现都由于相同的行为α但不同的θ。它们个别地以反映θ的随机性的不同概率出现。如果我们知道这样一个前景的概率分布，α的选择便等于在表示相应的前景的那些概率分布中间选择一个概率分布。注意概率的集是固定的，发生变化的是任何一个行为α的结果的集{(α，θ/H)}。
这样我们便可以使一个前景等同于一个概率分布P，并且我们需要考虑的偏好的表示式并不是以个别结果为根据，而是以前景(或者结果的集的概率分布)为根据。我们假定面对着决策者的是由前景的一个集P中作出选择，并且也有某些规则必定适用于对P的元素所表示的偏好次序，这是决策者的合理行为所应当遵循的规则。
虽然前景的观念是由于考虑在行为α被固定的前提下偶然事件θ的概率分布而开始使用的，这种局限性观点仍是不必要的。对结果C的任何概率分布都可以定义一个前景。特别是个别的结果C也可以看作前景，这是根据把概率一分配给所关心的结果而把概率零分配给一切其他结果的对C的退化分布(degeneratedistribution)来下定义的。
2．3 期望效用
由效用论的公理基础直接导出的一个推断就是: 给任何结果C分配一个数U(C)，即C的效用，是有意义的。要把效用概念应用于一个前景，而非结果，也是很方便的。因为一个前景无非是对结果的集的概率分布P，我们能够考虑相对于这个分布的效用函数的期望值E(U/P)。我们把它定义为前景P的效用。由构成公理基础的那些规则可以导出下述属性: 属性I。如果P1和P2是两个前景，那么当且仅当:
E(U/P1) ＞E(U/P2)
P1才是比P2更称心合意的。
为简单起见，下文将用U(P)代替E(U/P)
这样，前景之间的偏好的表示就等值于期望效用的比较——期望效用越高，前景越称心合意。
构造一个效用概念的目的是要提供可说明前景之间的偏好表示是什么意思的一个形式模型。在这方面属性Ⅰ蕴涵着: 对于分布P的期望效用就是对一个前景的数值估定。
对前景有效的同一属性必然也对结果有效，因为结果可以看作退化的前景。如果PC是给C分配概率一，而给每一其他结果分配概率零的分布，那么
C≡PC
按照属性Ⅰ，当且仅当对PC1的期望值高于对PC2的期望值，PC1才比PC2更称心合意。但这些期望值无非分别地是U(C1)和U(C2)，于是我们作出结论:
当且仅当U(C1)＞U(C2)，C1才比C2更称心合意。
效用函数的另一属性可直接由属性Ⅰ得出。属性Ⅱ: 如果U是C集上的效用函数，那么任何函数Ⅴ=αU+β(α和β是常数，α＞0)也是C集上的效用函数。C集上任何两个效用函数U和Ⅴ都是这样地相关的。
这是效用函数本质上的唯一性的钥匙，因为它宣称: 同在属性Ⅰ意义上对集C的一个合理偏好方案相对应，任何两个效用函数U和Ⅴ必定是以线性方式相联系的; 所以效用函数在这样的线性变换范围内都是单值的。
2．4 效用的测定
有一个C集上效用函数，它通过期望效用属性(属性Ⅰ)来形式地表示对不同前景的偏好的性质。单单知道这一点是没有多大价值的，如果我们不知道在一个特殊情况中怎样构造或测定效用函数。那么如果P是有概率P的结果C1和有概率1-P的结果C2的混合，那么
(1)U(P) =PU(C1) +(1-P)U(C2)
试考虑C集的任何两个结果C1和C2，其中C2比C1更称心合意，那么
U(C2) ＞U(C1)
因为只是在(递增的)线性变换范围内U是唯一的，我们可以任意地给C1和C2分配特定的效用，比方说我们可以随意地但合理地假定U(C1) =0，U(C2) =1。但作出了这个分配，一切其他结果的效用就都是唯一地确定的了。
考虑一下C集中的任何其他结果C，首先假定C2比C更称心合意，而C又比C1更称心合意。那么根据期望效用属性，就有C1和C2的一个唯一混合{C1，C2: 1-P}，它将和C同等地称心合意。那么，根据(1)得出
(2)U(C) =(1-P)U(C1) +PU(C2) =P
我们能够以同一方式给偏好程度介于C1和C2之间的任何结果分配一个效用。的确任何这样的结果C的效用都能够按照(1)表示为其他这样的结果的效用的线性组合。
因此，我们只要讲出C中任何两个特殊结果的效用，一切结果C的效用函数就由这两个基本结果的适当的混合充分决定了。
我们可举一个想要看电影的小孩的例子来说明。电影票的价钱是十五(分)，假定他手上有五分。我们可以随意地给十五分配效用一，给零(分)分配效用零。什么是他手上的财产五的效用呢? 这个理论规定有一个零与十五的唯一的混合(它以概率1-P得到零，并以概率P得到十五)和他现有的五(分)是同等地可取的。那么五对他的效用简单地就是P。但问题在于怎样决定P，习惯上的回答是，这个能够由内省，即根据他对不同的可能混合概率P的主观反应来决定。通常把这个问题置于打赌情况中，试图抽出P的有关的值。在这个打赌中: 如果他赢了，他便得十(使他的财产达到十五)，而如果他输了，他便赔出五(使他的财产等于零)。他愿意接受的最小让步是什么呢? 他手上的钱和目前的利益是关键，制约着他对赌注的选择。赢了便意味着看电影，这是最吸引人的，输了也并不是比眼前情况大得多的灾难。很可能他愿意以一比四这样低的赌赢机会来打赌。就结果来说，这便意味着五等值于(0，15∶ 0．8)，或者
U(5) =0×0．8+1×0．2=0．2
这个结论表示出金钱的效用也不必是线性的，在这个情况中它并不同金钱价值成比例。
2．5 决策
效用论为情况不明时行为的选择提供一个可能的基础。一个可能行为α和可能状态θ的每一组合［这就是一个结果(α，θ)］都被赋予一个数值U(α，θ)，即它的效用。如果我们按照一个概率分布来思考任何行为α，它就可被解释为以不同的可能状态的概率π(θ)产生值U(α，θ)的一个前景。不管考虑采取什么行为，每一可能状态θ的概率是照旧不变的，同α一起变化的是效用的集{U(α，θ); θ∈Ω}。因为θ是未知的，我们不能够仅仅使用效用的集来直接选择最好的行为α，但是，我们有一个先验分布π(θ)，效用论便建议应当根据U(α，θ)相对于先验分布的期望值来估量任何行为α，即
(3)∫U(α，θ)π(θ)
这个被定义为前景或行为α的效用。那么选择那个有最大的(期望)效用的行为是吸引人的。
效用论把式(3)看作行为α的必然的和合适的度量。在效用论的范围外，人们也许要提出疑问: 为什么应当选择单一的求和度量、状态空间Ω上的U(α，θ)的平均值? 为什么使我们对任何可能行为α的估量受这个特殊的单一度量的限制呢? 对行为α的充分估价所根据的是效用和概率的完全集{U(α，θ)，π(θ); θ∈Ω}，我们需要选择那个行为α，对它来说这个集是最吸引人的。我们为这个目的使用式(3)必定是由于我们相信形式的效用论是表达和对比我们的偏好的合适工具。