5.2.2 二重积分与三重积分计算
一、二重积分
函数f（x，y）在有界闭区域D上的二重积分定义为
其中，Δσ1，Δσ2，…，Δσn是由区域D任意分割成的n个小闭区域，同时也表示它们的面积；（ξi，ηi）∈Δσi，i＝1，2，…，n；
.
设积分区域D可以用不等式
φ1(x)≤y≤φ2(x)，a≤x≤b
来表示（如图5-5（a）所示），则上述二重积分可以化为如下累次积分
图5-5 X型和Y型区域
类似地，如果积分区域D可以用不等式
ψ1(y)≤x≤ψ2(y)，c≤y≤d
来表示（如图5-5（b）所示），则上述二重积分可以化为如下累次积分
1.二重积分符号解
将二重积分化为累次积分后，可以通过嵌套调用MATLAB提供的int函数来求解二重积分.
例5.10 求下列二重积分.
①
，其中D是由抛物线y＝x2和y＝2-x2所围成的区域；
②
，其中D是由椭圆
所围成的区域，a>0，b>0.
解：
①首先，绘制积分区域D.
运行结果如图5-6所示.
图5-6 二重积分区域示意图
然后，观察积分区域示意图，可知积分区域为
最后，计算该二重积分：
②若直接在直角坐标系中计算该二重积分比较麻烦，考虑做如下广义极坐标变换
其中，r≥0；0≤θ≤2π.在该变换下，积分区域化为
编写如下语句计算该二重积分：
2.二重积分数值解
MATLAB提供了函数quad2d来计算一般区域上二重积分的数值解，该函数的调用格式为
其中，fun是被积函数的符号表达式、内联函数、匿名函数或M函数；[a，b]×[c（x），d（x）]构成积分区域；param1，val1，param2，val2，…是可选的参数名及参数值；I是返回的数值积分值.
例5.11 求解二重积分
，其中D是由单位圆x2＋y2≤1所围成的区域.
解：积分区域D为
（1）符号积分法
（2）数值积分法
二、三重积分
函数f（x，y，z）在空间有界闭区域Ω上的三重积分定义为
其中，Δν1，Δν2，…，Δνn是由区域Ω任意分割成的n个小闭区域，同时也表示它们的体积；（ξi，ηi，ζi）∈Δνi，i＝1，2，…，n；
.
1.三重积分符号解
与二重积分类似，可以将三重积分化为累次积分后，通过嵌套调用MATLAB提供的int函数来求解三重积分.
例5.12 计算三重积分
，其中Ω由曲面z＝xy、平面x＋y＋z＝1及平面z＝0所围成.
解：
首先，绘制积分区域Ω：
运行结果如图5-7所示.
图5-7 三重积分区域示意图
然后，观察积分区域示意图，可以发现积分区域为
最后，计算三重积分：
例5.13 计算三重积分
，其中Ω为曲面
在第一卦限的部分，其中，a>0，b>0，c>0.
解：
（1）直角坐标系法
（2）广义柱坐标系法
令x＝arcosθ，y＝brsinθ，z＝z，则
（3）广义球坐标系法
令x＝arsinφcosθ，y＝brsinφsinθ，z＝z，则
2.三重积分数值解
MATLAB提供了函数triplequad来求解长方体区域上三重积分的数值解，该函数调用格式为
其中，fun是被积函数的字符表达式、内联函数、匿名函数或M函数；[a，b]×[c，d]×[e，f]构成长方体积分区域；tol是指定的误差限（默认值为10-6）；method为选择使用的求解一元定积分的数值函数（默认为＠quadl，也可以选择＠quad，甚至是用户自己编写的数值积分求解函数）；I是返回的数值积分值.
例5.14 计算三重积分
.
解：
MATLAB目前没有提供专门的用来求解一般区域上三重积分数值解的函数，但是可以将三重积分化为累次积分后，通过嵌套调用quad和quad2d函数来求解三重积分的数值解.现分别给出三重积分相应的三种累次积分形式的MATLAB语句格式，见表5-1.
表5-1 一般区域上三重积分的数值求解方法
续表
例5.15 计算三重积分
的数值解，其中Ω为曲面
在第一卦限的部分.
解：
（1）先一后二
（2）先二后一
（3）三次定积分
