5.3.1 常数项级数的收敛性判别与级数求和
一、常数项级数的收敛性判别
一般地，如果给定一个数列
u1，u2，u3，…，un，…
则由这个数列构成的表达式
称为常数项级数.其中，第n项un叫作级数的一般项；
，称为级数的部分和.
如果级数
的部分和数列{sn}有极限s，即
，则称无穷级数
收敛，这时s叫作级数的和，并记为
s＝u1＋u2＋u3＋…＋un＋…
如果{sn}极限不存在，则称无穷级数
发散.
（1）正项级数比较判别法
设
和
都是正项级数，如果
①
，且级数
收敛，则级数
也收敛；
②
，且级数
发散，则级数
也发散.
例5.20 判定级数
的敛散性.
解：利用比较判别法，与级数
进行比较得
由
收敛知，原级数收敛.
（2）正项级数比值判别法
设
是正项级数，如果
①
，则级数
收敛；
②
，则级数
发散；
③
，则级数
可能收敛也可能发散.
例5.21 判定级数
的敛散性.
解：利用比值判别法，由
可知级数收敛.
（3）正项级数根值判别法
设
是正项级数，如果
①
，则级数
收敛；
②
，则级数
发散；
③
，则级数
可能收敛也可能发散.
例5.22 判定级数
的敛散性.
解：利用根值判别法，由
可知级数收敛.
（4）交错级数判别法（莱布尼茨定理）
如果交错级数
（不妨设u1，u2，…，un，…都是正数）满足条件
①un≥un＋1(n＝1，2，3，…)；
②
，
则级数收敛.
例5.23 判定级数
的敛散性.
解：首先绘制正项级数
的图像：
运行结果如图5-8所示.
图5-8 级数单调性示意图
可以看出，un在n>10以后单调递减，再计算un的极限：
由莱布尼茨定理知，原级数收敛.
（5）阿贝尔判别法
如果级数
满足条件：
①数列{an}单调有界；
②级数
收敛，则级数收敛.
例5.24 判定级数
的敛散性.
解：令
，由
知，an单调递增且有上界1，而由莱布尼茨定理知
收敛，故由阿贝尔判别法知，原级数收敛.
（6）狄利克雷判别法
如果级数
满足条件：
①数列{an}单调趋于零；
②级数
的部分和Bn有界，则级数收敛.
例5.25 判定级数
的敛散性.
解：令
，由
知bn的部分和有界，而an显然单调趋于0，由狄利克雷判别法知，原级数收敛.
二、级数求和
MATLAB符号运算工具箱提供了函数symsum来求解数项级数的和，该函数的调用格式为其中，expr是级数一般项的字符表达式；v是级数的自变量；a和b分别是级数求和的起始项和终止项；r是返回的级数和.
例5.26 求下列数项级数的和.
解：
注意：piecewise（[1＜＝q，a∗Inf]，[abs（q）＜1，-a/（q-1）]）是MATLAB中定义的分段函数，其数学表达式为
