运用创新思维，提升解题能力
高中部 殷鹏展
【摘 要】
创新思维能够从不同视角、突破性地打破常规思考问题的方式找到另一种解题的方法。结合几则典例，提出创新思维求解问题的路径，即灵活运用“运动”与“静止”相结合的观点分析问题；灵活运用直线与圆有“公共点”分析问题；灵活运用函数与导数的“交汇”分析问题；灵活运用“解析法”处理解三角形问题。
【关键词】
创新思维；高中数学；解题能力
具体解题时，如果遇到某些数学问题按照常规思维较难分析求解，那么就应该在解题思维上进行创新，以新的视角去分析、解决问题，往往会获得巧思妙解，有利于提高解题能力。
思维创新一：灵活运用“运动”与“静止”相结合的观点分析问题
唯物辩证法告诉我们：分析、解决具体问题时，要善于运用“运动”与“静止”相结合的观点去处理问题，其优点是有利于从动态变化的角度对问题进行一系列的探究。处理与图形有关的数学问题时，往往会涉及动点、动直线、动圆等，这时我们就可以灵活运用这种动、静结合的观点对问题进行全面分析，以便获得简洁、新颖别致的解法。
例1：已知正方形
的边长为2，对角线
相交于点
，动点
满足
，若
，其中
，则
的最大值为 。
解析：结合题意，本题需要建系思考，求解关键是考虑坐标运算，理清
的几何意义，以便从“形”的角度灵活考查最值问题。
如图，建立平面直角坐标系
，则由题设知点
，又
，所以可得点
，所以
，其中点
。因为
，所以易知点
的轨迹为圆
，且圆心坐标为
，半径为1。
于是，让过点
且与圆
有公共点的直线绕着定点
“旋转分析”。易知：当过点
的直线与圆
的右下方相切时，直线
的斜率取得最小值。设过点
的直线为
，则根据相切得
，解得
或
（舍去）。从而，
的最小值为
，故所求
的最大值为
，即
。
评注：本题难度较大，综合性较强，求解关键在于通过建系，有利于从“数形结合”的角度理清题设已知条件；而求目标式的最大值时，关键在于根据目标式的几何意义加以思考。
思维创新二：灵活运用直线与圆有“公共点”分析问题
如果试题本身没有给出直线和圆，但是题设条件与直线和圆的方程紧密联系，那么我们就可以构造直线和圆，以便灵活运用直线与圆有公共点的充要条件是圆心到直线的距离小于或等于圆的半径，灵活分析、解决目标问题。
例2 (2014·湖北卷)：设
，且满足：
，
，则
。
解析：将看作“常量”， 则方程
表示直线，方程
表示圆。根据题意可知该直线与圆有公共点
，所以
。从而，两边平方整理得
，即
，所以
，所以
。
同理，可求得
。故所求
。
评注：本题求解的关键在于先将变量看作常量，灵活构造直线和圆；再根据直线与圆有公共点的充要条件，构建不等式，将“不等”转化为“相等”。
思维创新三：灵活运用函数与导数的“交汇”分析问题
根据函数的零点存在性定理和函数的单调性可得如下一般性结论：如果连续函数
在
上单调，且
，则函数
在
上有且仅有一个零点。该结论可称作函数零点唯一存在性定理，具体运用该定理解题时，往往需要先根据导数知识准确分析函数的单调性，再结合两个函数值异号，即可顺利求解目标问题。(https://www.daowen.com)
例3：函数
在其定义域内的零点一共有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析：对函数
求导可得
，易知：当
时，
；当
时，
，无论
还是
，易判断知均有
成立。于是，当
时，必有
，所以函数
在
上单调递增。
又由
，
，得
，从而根据函数零点唯一存在性定理知：函数
在开区间
上有唯一的一个零点。又注意到函数
在
上单调递增，所以函数
在其定义域内的零点一共有1个。故选B。
评注：本题求解关键是利用“分类与整合思想”准确分析导数与零的大小关系，突出地体现了函数零点唯一存在性定理在解题中的灵活运用，对学生综合运用能力的要求较高。
思维创新四：灵活运用“解析法”处理解三角形问题
众所周知，解三角形问题主要涉及正、余弦定理以及面积公式在解题中的综合运用。如果遇到某些解三角形问题按照这样的常规思路不易求解，此时可考虑借助“解析法”灵活探求解题思路，以便获得较为简捷、明了的解题过程。
例4 如图，在边长为
的等边
中，经过
的中心
的直线交
边于点
，交
边于点
，求的最大值和最小值。
解析：如图，建立平面直角坐标系
，其中
轴与
平行，
轴就是线段
的中垂线，则点
。从而，可求得直线
的方程为
，直线
的方程为
。
根据图形，可设直线
的方程为
，通过联立解方程组可得点
，
，
所以
。
于是，
。
又结合题意及图形易知
，故当
时，得
的最大值为
；当
时，
的最小值为
。
评注：上述求解的关键在于准确分析点的坐标，转化为求函数的最值问题。解题感悟：借助“解析法”可帮助我们顺利求解一些看似较难的解三角形问题，其关键在于通过建立平面直角坐标系，利用相关解析几何知识加以灵活处理。
总之，通过上述归类举例可知，解题思维的创新往往需要关注唯物辩证法观点在数学解题中的灵活运用，需要关注所学数学知识、方法在不同情景下的创新运用、综合运用，以便帮助我们不断拓展解题思维视野，进一步提升数学核心素养。
参考文献
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[2]周云.变换思维的视角谈创新解题[J].数学教学通讯,2016(36):33-34.
[3]王志山.对解题过程中的思维定势和思维创新的认识[J].中小学数学(高中版),2016(06):59-60.
（殷鹏展老师，2016年入职汉开，目前担任南京汉开书院副院长。数学教育硕士，大市高中数学教学能手，区学科带头人，国家奥数教练员，市高中数学基本功竞赛一等奖、中青年教师数学优质课一等奖。在引领教师团队专业成长中，构建了“HKA基于教-学-评一致性的目标管理模式”，注重个人PBL尝试教学风格的塑造，曾带领教师团队获得南京市2019—2020学年度中考质量特别贡献奖。在核心期刊《中学数学》《中学数学教学参考》等发表论文多篇，参与了《高等几何》和《师范生高级技能训练》两本教材的编写工作。）