第2节　有限元方法基本原理

“有限元方法”（Finite Element Method，FEM）这一名称是由Clough 在1960 年提出。有限元方法是求解数理方程的一种数值计算方法。通过有限元分析，在工程设计阶段就可以对实际可能出现的各种问题进行性能评估和设计参数修改。有限元方法最早应用于结构力学。随着计算机的发展，有限元方法和软件已从单纯的结构力学计算发展到求解各类物理场问题，近年来已应用于流体力学、温度场、电传导、磁场、声场等问题的数值模拟。在机械制造、航天航空、土木工程、电气工程、生物医学工程、石油化工、汽车能源等领域都得到广泛的应用。

自然界中各种纷繁复杂的物理现象或规律，可以用微分方程来描述。无论是机械力学、流体力学还是电磁学领域的工程问题，其数学模型可由具有相应边界条件和初始条件的微分方程描述。在给定边界条件和初始条件下，通过求解微分方程就可获得某个物理量的变化规律或某个特定系统的精确行为。而对于给定边界条件和初始条件的偏微分方程，除了少数极简单的情况下能计算出解析解，绝大多数情况下是无法直接求解的，只能借助数值方法寻求近似解。有限元方法实质就是用于近似求解偏微分方程。

对于一个描述复杂物理量的函数，可以通过一系列简单的函数组合来近似，即函数逼近。其中有两种经典的方法，一是基于全域的展开，例如使用傅立叶级数展开；二是基于子域的分段函数组合。有限元方法就是采用分段组合的思想。有限元方法首先将求解域离散为若干个子域（单元），并通过单元边界上的结合点相互连接成为组合体，在各单元内使用一个连续函数来表示每个单元的近似解，进而利用单元边界的连续性，通过将单个解组装起来而得到问题的完整近似解。

有限元方法对复杂几何构型具有良好的适应性，各种非常复杂的结构都能够用足够多的单元组合表示。而单元的类型众多，可以是一维、二维或三维，而且可以有不同的形状，如二维单元可以是三角形也可以是四边形，三维单元可以是四面体、五面体或六面体。同时，各单元内近似连续函数的形式无限制，可以是弹性问题、弹塑性问题、黏弹塑性问题，也可以是动力问题、屈曲问题，或者是流体力学问题、热传导问题、电磁场问题等。因此，各种物理问题都可以应用有限元方法近似求解。

在有限元方法的求解过程中，各方程可表示成规范的矩阵形式，因此求解方程可以统一表示为矩阵代数问题，这样就非常适合使用计算机并行计算，实现高效求解。

综上所述，有限元方法作为一种数值分析方法，具有理论基础可靠、适用性广泛、计算机实现高效等优势。尤其随着计算机硬件的飞速发展，ANSYS、ABQUAS 等基于有限元原理的分析软件大量出现，有限元分析在实际工程中的应用越来越广泛，在医学领域尤其是骨科领域发挥着越来越重要的作用。