第十六章　论数

§4.斐　在数方面的观念，是比在广延方面的观念既更精确又更恰当地彼此区别开的，在广延方面，我们不能和在数方面一样容易地来观察大小的每一相等和每一超过量，这是因为在空间方面，我们不能在思想上达到某种确定的最小，在此之外不能再前进的，如同在数方面的单位那样。

德　〔这应该理解为是就整数来说。因为否则就数的广阔范围来说，包括“不尽根数”、“破数”、“超越数”[1]，以及一切可以在两个整数之间取得的数，它相当于一条线，在其中也和在一个连续体中一样很难说有什么极小的。还有数是众多的单位这个定义，也只有对整数才适用。在广延方面的观念精确区别也并不在于大小；因为要清楚地认识大小就得求助于整数或其他靠用整数知道的〈度量〉，因此要对大小有一清楚的认识就得从连续量又再来借助于分离量。因此那些广延的样态，当我们不用数时，就只能用形来加以区别[2]，这里取形这个词的极概括的意义，指一切使两个有广延之物彼此不相似的东西。〕

§5.通过把单位的观念加以重复以及把它和另一单位结合起来，我们就造成一个集合观念，称之为二。而不论是谁，只要能够这样做，并且永远能在他给了一个特殊名称的最后一个集合观念上再加一个，当他有了一串名称并有足够强的记忆力来记得它时，他就能计数。

德　〔单用这样的方式是进行不远的。因为如果每加一个新的单位就得记住一个全新的名称，那记忆力就会负担太重了。所以这些名称得有某种秩序和某种重复，照着一定的进程重新起头。〕

斐　数的不同样式不能有其他区别，而只有较多或较少的区别；〔就是因为这样，它们和广延的样式一样是简单样式。〕

德　〔对于时间和对于直线可以这样说，但对于形就不能、对于数更不能这样说，它们不仅大小不同，而且是不相似的。一个偶数可以分成相等的两个数，但一个奇数就不能。三和六是三角数，四和九是平方数，八是立方数，如此等等。这一点对数来说比对形还更适用，因为两个不相等的形还可以彼此完全相似，但两个数就绝不能。但我并不奇怪人们在这一点上常常弄错，因为通常人们对于什么是相似或不相似并没有清楚的观念。因此，先生，您看到，您对于简单样态或复杂样态的观念或应用是大大需要改正的。〕

§6.斐　〔您指出最好给各种数目以各自的名称以便记住，这是很对的。〕因此我想在计数时这样做是方便的，就是：为简短起见，不说百万个百万，而说比林（Billion），不说百万个百万个百万或百万个比林而说特利林（Trillion），照此类推直到农尼林（Nonillion）[3]，因为在数的应用上大抵不需要走得更远了。

德　这些名称是相当好的。令x=10，则百万就是x6，一个比林就是x12，一个特利林就是x18，如此类推，而一个农尼林就是x54。