7.3.1 定积分的微元法

7.3.1 定积分的微元法

定积分是分部在区间上的整体量.因整体是由局部组成，将实际问题抽象为定积分，必须从整体着眼，从局部入手.具体作法是，将区间上的整体量化成区间上每一点的微分，也叫微元，这时化整为零，然后，对区间上每一点上的微分无限累加，这是积零为整，这样就得到所求的定积分.我们回顾7.2.1节定积分的概念与性质中曲边梯形面积问题.

设函数f（x）在区间[a，b]上连续且f（x）≥0，由曲线y=f（x）和直线x=a，x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积的过程：

（1）分割：把区间[a，b]任意分成n个子区间，所求曲边梯形的面积A分为每个子区间上小曲边梯形的面积ΔAk（k=1，2，…，n）之和，即.

（2）近似代替：在每个小区间[xk-1，xk]上任取一点ξk（xk-1≤ξk≤xk），以f（ξk）为高，Δxk为底的小矩形的面积为f（ξk）Δxk，则小曲边梯形面积ΔAk的近似值就是小矩形的面积.即ΔAk≈f（ξk）Δxk（k=1，2，…，n）.

（3）求和：

（4）取极限：

在实际应用中，还可以简化上述步骤：

设函数f（x）在区间[a，b]上连续，具体问题中所求的量为A.

①在区间[a，b]内任取子区间[x，x+Δx]，在此子区间上量A的微元为

dA=f(x)dx.

②把微元在区间[a，b]上积分，即

这种方法就是微元法（或元素法）.

从上述例子可以看出，要将某实际问题抽象为定积分，首先求出要求量的微元.如计算曲边梯形的面积要求出面积微元.微元都是根据具体问题的公式写出来的.再将每一点上的微元连续累加起来，就得到了定积分.