五、一节讨论课
北京市海淀区人大附中 梁丽平
又是一个明媚的清晨，我一边匆匆的走向教室，一边整理着自己的思绪：前几天的一次讨论课上，有两位同学不约而同的提出了同一个问题，椭圆的两个定义（见附录1）都非常的优美，这两个定义是怎么产生的？这两种定义看起来毫无关联，它们又是如何统一到椭圆的呢？很显然，他们并不满足于课本上关于椭圆第二定义的导入方法（见附录2）。问题是提给全班同学，当然也是提给我的。在经历了两、三分钟的静默之后，并没有同学能给出回答。于是我建议大家课后思考。
实际上我知道一种解释，不过一方面由于我并不喜欢那种解释，认为它有些牵强附会，另一方面，我也期待着我的学生通过思考之后，能有更多的发现，给出更好的回答。这并不是不可能的。事实上，在我担任他们老师的几年时间里，他们是常常会给我一些惊喜的。
我所教的这个班是我们学校的实验班，学生思维活跃，求知欲强，但普遍不够踏实，有部分同学在小学的时候就自学了高中的数学课本，虽然只知皮毛，理解得不够深刻，但常规的教学方法已无法适应他们，这曾经给我的教学造成不小的难度，于是，在某些章节，我干脆采取“以问题带教学”的方法，即让他们提前自学，然后在课堂上提出自己的问题，回答别人的问题，这样的课我们称之为讨论课。讨论课上，精彩的不仅仅是解答，有不少好问题也是在这样的课上提出来的，如：椭圆的面积公式为什么是πab？椭圆可以通过圆经压缩变换得到，这一事实有什么用？可以帮助我们解决那些问题？……
因此，我期待着。但事隔两天，仍然没有什么反应，在同学的一再要求之下，我提示性的反问他们：这两种定义真的毫无关联吗？
今天的课就是在这样的一种背景下展开的。
我首先提问：有没有同学已经将椭圆的第一定义和第二定义的统一起来？
无人回答。
我接着再问：是否有同学能说出这两种定义的共同点？
也无人回答。
我提高了声音又问：难道这两种定义真的毫无关联吗？
同学A小声嘀咕：怎么没有？它们都是椭圆！
教室里笑声一片。我示意大家安静下来，接着说：A说的没错，它们都是椭圆，怎么可能没有联系呢？大家可以尝试从两种定义本身、甚至字面上去想一想
过了一会，正在我颇感为难之际，同学B站起来，犹犹豫豫的说：我觉得这两种定义的共同点是：均包括到一个定点的距离。
我正想鼓励他说下去，同学C—拍脑袋：对呀，这可能就是这个问题的突破口吧！
教室里鸦雀无声。同学们有的沉思、有的翻书，大约有两分钟之久，同学D站起来：是不是只要把第一定义中到两点的距离转化为到一点的距离就可以了呢？
这句话提醒了正在翻书的A，他站起来，一边思索一边说：如果是这样的话，那不就是把
吗？说着还走上讲台，把两个式子写在了黑板上，接着又说：那样的话，只要看看课本第72页椭圆标准方程的化简过程就可以了。老师，是这样的么？
我笑着反问：你觉得呢？
A想了一下，肯定的说：应该没错，最起码这是一种把这两定义联系起来的方法。在把
转化为
后，不难得到：
，这个式子与（*）式等价，既然前者所对应的点的轨迹是椭圆，那么后者自然也是，由此，可以自然的引出第二定义。
同学们纷纷翻书，交头接耳，作大悟状。有不少同学更是慨叹：我以前看书的时候怎么从来没注意过这个问题呢？(https://www.daowen.com)
我肯定了A的说法，同时又说：是真该想想，以前看书的时候为什么没注意过这个问题呢？
同学E：可能根本就没有认真的看过化简过程吧。反正我是这样的。
同学F：我觉得可能还有一个原因，就是数形结合的观念不够强，我也看了72页的化简过程，但从来没有由a2-
联想到什么“到定点的距离”、“到定直线的距离”。
F摇摇头坐下了。问题基本已圆满解决，我正想组织大家继续下面的内容，一扭头，突然发现H正兴奋而期待的看着我，H是位腼腆的女孩，踏实认真，一向不太多说话，看着她的神情，我不由得问了一句：H，你还有什么想法吗？
H轻声说：老师，我有一个新的发现：其实这个椭圆方程的化简过程是可以简化的。
哦？我很惊奇，示意她上讲台给大家讲一讲。下面是她在黑板上写的过程：
两边平方，得：……
真是绝妙的想法！怎么想到的呢？同学们一边赞吧，一边议论纷纷。H被大家夸的更有些不好意思了，赶紧说：
当时我看到这一部分时，就觉得化简过程比较繁，不过也没仔细想。刚才说到一个根号的问题，我突然想到：化简过程之所以繁，主要问题在于有两个根号，如果我一开始就想办法去掉一个根号的话，问题就简单多了。如何得到一个只含一个根式的式子？我就想到了老师讲过的方程的思想，实际上
可看成是关于
的二元方程，问题相当于求解出
，所以就想到了构造一个方程……
精彩！我深深的体会到了青出于蓝而胜于蓝的道理。
一节课结束了，收获的不只是学生，兴奋之余，我也陷入了的思考中：
现行的数学教材过多的强调学科的逻辑体系，追求数学抽象，在介绍一个新的内容时，总是遵照严格的公理体系：定义、定理、证明等，而忽略知识的形成过程、忽略知识的来源，人为地把知识割裂成块。使得学生学习时，缺乏联系的观点。更不知道为什么要学这部分知识，久而久之，不仅把数学和现实分割开来，而且在本学科知识之间，也难于建立起联系。许多老师为了补上这一块，让学生有一个自然的知识的形成过程，还数学以本来面目，煞费苦心，如果教材能够兼顾到知识的来龙去脉，比如在椭圆这部分，介绍一下椭圆的来源、为什么要学椭圆、以及学了有什么用，是不是更好一些呢？
从始至终，我一直觉得，我引导同学发现的两种定义的联系有些牵强附会，这是不是它们之间最原始的联系呢？这两种定义的发现过程究竟是怎样的呢？我把这种连自己都不满意的结论介绍给他们合适吗？
虽然说这节课中，的确是由学生发现了两种定义之间的联系，但我总感到，就象是我设置了一个套子，让学生在不知不觉中钻进去。我不知道，这能不能也算是一种“开放式的教学”呢？这样做的效果与直接讲授的效果相差多远？
按照建构主义的观点：学习不是学习者对于教师所授予知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动的建构活动。那么，在学生学习的过程中，教师应该起一个什么样的作用？本节讨论课中，作为教师的我，做的合适吗？学生的收获到底有多大？
前面我曾经说过：学生是常常给我一些惊喜的，讨论课的好处显而易见，在讨论的过程中，我经常不由自主的会把自己也当成他们中的一员，一起思考，互相启发，发现问题，解决问题，真正的做到了教学相长。学生和我都非常的喜欢这种讨论课。但另一方面，我也在反思，不可否认的是：在这样的课上，常常是几个反应较快、又比较活跃的学生抢走了话题，在大部分同学还没有结论之前，他们已经说出了自己的想法，我在想：其他同学的参与程度有多大呢？是否达到了预期的效果？如何控制课堂的节奏，才能使更多的同学受益呢？
附录1：
椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于
）的点的轨迹叫做椭圆。
椭圆的第二定义：平面内到定点与到定直线的距离之比等于常数（小于1）的点的轨迹是椭圆。
附录2：
《解析几何》P78例3，点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定直线l：
的距离之比是常数
c＞0）求点M的轨迹。