2012年全国硕士研究生入学统一考试试题

2012年全国硕士研究生入学统一考试试题

一、选择题：第（1）～（8）小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.

（1）曲线渐近线的条数为

（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.

[ ]

（2）设函数f（x）=（e^x-1）（e^2x-2）…（e^nx-n），其中n为正整数，则f′（0）=

（A）（-1）^n-1（n-1）！ （B）（-1）ⁿ（n-1）！.

（C）（-1）n^-1n！.（D）（-1）ⁿn！.

[ ]

（3）设函数f（t）连续，则二次积分

[ ]

（4）已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则

[ ]

（5）设，，，，其中c₁，c₂，c₃，c₄都为任意常数，则下列向量组线性相关的为

（A）α₁，α₂，α₃.（B）α₁，α₂，α₄.（C）α₁，α₃，α₄.（D）α₂，α₃，α_4.

[ ]

（6）设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且.若P=（α₁，α₂，α₃），Q=（α₁+α₂，α₂，α₃），则Q^-1AQ=

[ ]

（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）内的均匀分布，则P（X²+Y²≤1）=

[ ]

（8）设X₁，X₂，X₃，X₄为来自总体N（1，σ²）（σ>0）的简单随机样本，则统计量的分布为

（A）N（0，1）.（B）t（1）.（C）χ²（1）.（D）F（1，1）.

[ ]

二、填空题：第（9）～（14）小题，每小题4分，共24分.

（10）设函数，则

（11）设连续函数z=f（x，y）满足，则dz|_（0，1）=____.

（12）由曲线和直线y=x及y=4x在第一象限中所围成的平面图形的面积为|.

（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A^∗为A的伴随矩阵.若交换A的第1行与第2行所得矩阵为B，则|BA^∗|=____.

（14）设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，，，则.

三、解答题：第（15）～（23）小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

求极限.

（16）（本题满分10分）

计算二重积分，其中D是以曲线，及y轴为边界的无界区域.

（17）（本题满分10分）

某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元）.设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和y（件），且这两种产品的边际成本分别为（万元/件）与6+y（万元/件）.

（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数C（x，y）（万元）；

（Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本.

（Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时，甲产品的边际成本，并解释其经济意义.

（18）（本题满分10分）

证明：.

（19）（本题满分10分）

已知函数f（x）满足方程f″（x）+f′（x）-2f（x）=0及f″（x）+f（x）=2e^x.

（Ⅰ）求f（x）的表达式；

（Ⅱ）求曲线的拐点.

（20）（本题满分11分）

设，.

（Ⅰ）计算行列式A；

（Ⅱ）当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解.

（21）（本题满分11分）

已知及二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^T（A^TA）x的秩为2.

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）求正交变换x=Qy，将f化为标准形.

（22）（本题满分11分）

设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为

（Ⅰ）求P（X=2Y）；

（Ⅱ）求Cov（X-Y，Y）.

（23）（本题满分11分）

设随机变量X与Y相互独立，且服从参数为1的指数分布.

记U=max{X，Y}，V=min{X，Y}

（Ⅰ）求V的概率密度f_V（v）；

（Ⅱ）求E（U+V）.