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2005年全国硕士研究生入学统一考试试题精解

2025年09月26日
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2005年全国硕士研究生入学统一考试试题精解

一、填空题

（1）分析 用x→∞时的等价无穷小代替，即得所求的极限值.

精解 978-7-111-46013-8-Part02-1205.jpg

附注 所给极限写成978-7-111-46013-8-Part02-1206.jpg后才能用等价无穷小代替.

（2）分析 先算出通解，再求满足y（1）=2的特解.

精解 所给微分方程可以改写成

（xy）′=0，

所以它的通解为xy=C.将y（1）=2代入得C=2.所以所求的特解是xy=2.

附注 本题也可用变量可分离微分方程或一阶线性微分方程方法求解，但用本题方法求解更为简捷.

（3）分析 可按全微分形式不变性计算dz，然后将点（1，0）代入即可.

精解 978-7-111-46013-8-Part02-1207.jpg

将x=1，y=0代入上式得

dz|（1，0）=edx+e（dx+dy）+2dy

=2edx+（e+2）dy.

附注 本题也可按978-7-111-46013-8-Part02-1208.jpg计算，其中978-7-111-46013-8-Part02-1209.jpg和978-7-111-46013-8-Part02-1210.jpg按偏导数定义计算，具体如下：

978-7-111-46013-8-Part02-1211.jpg

978-7-111-46013-8-Part02-1212.jpg

所以

dz|（1，0）=2edx+（e+2）dy.

（4）分析 记4个行向量构成的矩阵为A，则由|A|=0，即可算a的值.

精解 记978-7-111-46013-8-Part02-1213.jpg，则由所给的行向量组线性相关得

978-7-111-46013-8-Part02-1214.jpg

于是，由a≠1得978-7-111-46013-8-Part02-1215.jpg

附注 当由向量组的线性相关性来确定向量中所包含的未知常数值时，如果向量组的维数与向量组的向量个数相等，则应由这一向量组为行向量或列向量构成的矩阵的行列式入手.

（5）分析 用全概率公式计算P（Y=2）.

精解 {X=1}，{X=2}，{X=3}，{X=4}是与事件{Y=2}有关的一个完全事件组，所以由全概率公式得

978-7-111-46013-8-Part02-1216.jpg

附注 用全概率公式计算随机事件B的概率P（B）时，应找到一个与B有关的完全事件组A1，A2，…，An，且P（Ai）>0（i=1，2，…，n），题中的{X=i}（i=1，2，…，4）是一个完全事件组，但{X=i}（i=2，3，4）不是完全事件组，所以在式（1）中P（X=1）P（Y=2|X=1）这一项不能省去.

（6）分析 利用二维离散型随机变量的概率分布性质及{X=0}与{X+Y=1}相互独立，可以确定a、b的值.

精解 首先由随机变量（X，Y）的概率分布性质知

0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5.（1）

其次，由{X=0}与{X+Y=1}相互独立知

P（X=0，X+Y=1）=P（X=0）P（X+Y=1）.（2）

其中，P（X=0，X+Y=1）=P（X=0，Y=1）=a，

P（X=0）=0.4+a，

P（X+Y=1）=a+b.

将它们代入式（2）得

a=（0.4+a）（a+b）.（3）

由式（1）、式（3）得a=0.4，b=0.1.

附注 要记住离散型随机变量的概率分布的性质.

一维情形：设随机变量X的概率分布为P（X=xi）=pi（i=1，2，…），则

pi>0（i=1，2，…）且978-7-111-46013-8-Part02-1217.jpg

二维情形：设二维随机变量（X，Y）的概率分布为P（X=xi，Y=yj）=pij（i=1，2，…；j=1，2，…），则

pij≥0（i=1，2，…；j=1，2，…）且978-7-111-46013-8-Part02-1218.jpg

二、选择题

（7）分析 计算f′（x）的零点，然后列表确定函数f（x）的单调性，并得出正确的选项.

精解 f′（x）=6（x2-3x+2）=6（x-1）（x-2），它有零点x=1，2，据此列表如下：

978-7-111-46013-8-Part02-1219.jpg

由表可知，当a=2时，f（x）只有一个零点，因此选项（A）不正确.当a=4时，f（x）有两个不同的零点.

因此本题选（B）.

附注 （ⅰ）本题判断零点所用的结论是：

设函数g（x）在[a，b]上连续（当a=-∞，或b=+∞时，区间[a，b]自然去掉相应的端点），在（a，b）内单调，则当g（a）g（b）<0时g（x）在[a，b]上有唯一零点.

（ⅱ）由上列的表也可算出使f（x）恰有两个不同零点的所有a值.

使f（x）恰有两个不同零点的a应满足：

978-7-111-46013-8-Part02-1220.jpg或978-7-111-46013-8-Part02-1221.jpg

由此即得所有的a=4或5.

本题是综合题，有关内容及计算方法见提高篇05.

（8）分析 由于I1，I2，I3都是D上的二重积分，所以只要比较被积函数在D上的大小即可确定三个重积分之间的大小关系.

精解 在D上978-7-111-46013-8-Part02-1222.jpg，而cosu在[0，1]上是u的单调减少函数，所以在D上有

978-7-111-46013-8-Part02-1223.jpg （仅在点（0，0）处取等号）.

由此得到

978-7-111-46013-8-Part02-1224.jpg

即 I3>I2>I1.

因此本题选（A）.

附注 以下结论是有用的：

（ⅰ）设连续函数f（x，y），g（x，y）在D上满足f（x，y）≤g（x，y），则978-7-111-46013-8-Part02-1225.jpg978-7-111-46013-8-Part02-1226.jpg

（ⅱ）设连续函数f（x，y），g（x，y）在D上满足f（x，y）≤g（x，y），且在D上至少有一点（x0，y0），使得f（x0，y0）<g（x0，y0），则978-7-111-46013-8-Part02-1227.jpg

（9）分析 由于级数978-7-111-46013-8-Part02-1228.jpg收敛，所以从它入手，并利用收敛级数性质进行考虑.

精解 由于级数978-7-111-46013-8-Part02-1229.jpg收敛，所以对它两项两项地加括号所成的级数

978-7-111-46013-8-Part02-1230.jpg

仍收敛.

因此本题选（D）.

附注 以下结论是有用的：

（ⅰ）如果级数978-7-111-46013-8-Part02-1231.jpg收敛，则对它的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.

（ⅱ）如果对级数978-7-111-46013-8-Part02-1232.jpg的项加括号后所成的级数发散，则978-7-111-46013-8-Part02-1233.jpg发散.

（10）分析 由于函数f（x）二阶可导，所以可用函数极值的第二充分条件解本题.

精解 由

f′（x）=sin x+xcos x-sin x=xcos x，

f″（x）=cosx-xsin x

可知，x=0，978-7-111-46013-8-Part02-1234.jpg都是函数f（x）的驻点，并且f″（0）=1>0，978-7-111-46013-8-Part02-1235.jpg，所以f（0）是f（x）的极小值，978-7-111-46013-8-Part02-1236.jpg是f（x）的极大值.

因此本题选（B）.

附注 本题也可由函数极值的第一充分条件求解.

由于当x∈（-δ，0）时，f′（x）<0；x∈（0，δ）时，f′（x）>0，所以f（0）是f（x）的极小值.

由于当978-7-111-46013-8-Part02-1237.jpg时，f′（x）>0；978-7-111-46013-8-Part02-1238.jpg时，f′（x）<0，所以978-7-111-46013-8-Part02-1239.jpg是f（x）的极大值.上述的δ是充分小的正数.

（11）分析 想法排除其中三个不正确选项即可.

精解 令978-7-111-46013-8-Part02-1240.jpg，则f（x）与978-7-111-46013-8-Part02-1241.jpg都在（0，1）内连续，但f（x）在（0，1）内无界，所以排除选项（A）与（B）.

选项（D）显然不正确，这是因为f（x）在（0，1）内有界未必可导，当然谈不上f′（x）在（0，1）内有界.

因此本题选（C）.

附注 当函数f（x）在（a，b）内连续时，在（a，b）内未必有界.但本题表明：

当f′（x）在（a，b）内有界时，f（x）必在（a，b）内有界.证明如下：

对任意x∈（a，b），有

978-7-111-46013-8-Part02-1242.jpg

于是有

978-7-111-46013-8-Part02-1243.jpg

（由于f′（x）在（a，b）内有界，故存在M>0，使得|f′（x）|≤M（x∈（a，b））），即f（x）在（a，b）内有界.

（12）分析 从公式AA∗=|A|E（E为三阶单位矩阵）入手选择正确选项.

精解 由AA∗=|A|E及题设A∗=AT得

AAT=|A|E，（1）

即

978-7-111-46013-8-Part02-1244.jpg（∗表示不必计算出来的元素），由此可知，

|A|=a211+a212+a213=3a211>0.（2）

另一方面，由式（1）得|AAT|=|A|3，即|A|2=|A|3.考虑到|A|>0得|A|=1.于是式（2）成为1=3a211，即978-7-111-46013-8-Part02-1245.jpg

因此本题选（A）.

附注 当线性代数的问题中出现n阶矩阵A的伴随矩阵A∗时，首先应想到以下公式

AA∗=A∗A=|A|E （其中E是n阶单位矩阵）.

此外，应记住A∗的以下性质：

（ⅰ）|A∗|=|A|n-1（n≥2）.

（ⅱ）A∗可逆的充分必要条件是A可逆，且A可逆时，A∗=|A|A-1，978-7-111-46013-8-Part02-1246.jpg978-7-111-46013-8-Part02-1247.jpg

（ⅲ）A∗的秩为

978-7-111-46013-8-Part02-1248.jpg

（ⅳ）设ξ是A的对应非零特征值λ的特征向量，则A∗有特征值978-7-111-46013-8-Part02-1249.jpg及对应的特征向量ξ.

（13）分析 用线性无关向量组α1，α2表示向量组α1，A（α1+α2）即可得到后者线性无关的充分必要条件.

精解 由于α1，α2是A的对应不同特征值的特征向量，所以线性无关，于是由

978-7-111-46013-8-Part02-1250.jpg

知α1，A（α1+α2）线性无关的充分必要条件是

978-7-111-46013-8-Part02-1251.jpg，即λ2≠0.

因此本题选（D）.

附注 记住以下结论：

设α1，α2，…，αn是一个n维列向量组，则该向量组线性无关的充分必要条件是|A|≠0（其中A=（α1，α2，…，αn））.

它的推广为：

α1，α2，…，αn是线性无关列向量组，且列向量组β1，β2，…，βn可由α1，α2，…，αn线性表示：

（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）A，则β1，β2，…，βn线性无关的充分必要条件为|A|≠0.

（14）分析 利用正态总体N（μ，σ2）在σ2未知时，μ的置信区间公式即可.

精解 当总体N（μ，σ2）在σ2未知时，μ的置信度为1-α=0.9（即α=0.1）的置信区间是

978-7-111-46013-8-Part02-1252.jpg

现将x=20，s=1，n=16，α=0.1代入得

978-7-111-46013-8-Part02-1253.jpg

因此本题选（C）.

附注 顺便指出，正态总体N（μ，σ2）在σ2已知时，μ的置信度为1-α的置信区间是

978-7-111-46013-8-Part02-1254.jpg

其中x是样本均值，n是样本容量，

978-7-111-46013-8-Part02-1255.jpg是标准正态分布N（0，1）的上侧978-7-111-46013-8-Part02-1256.jpg分位数.

三、解答题

（15）分析 所给极限是∞-∞型未定式极限，通分转换成978-7-111-46013-8-Part02-1257.jpg型未定式极限后再计算.

精解 978-7-111-46013-8-Part02-1258.jpg978-7-111-46013-8-Part02-1259.jpg

978-7-111-46013-8-Part02-1260.jpg

附注 本题也可用洛必达法则计算（当然首先需作些必要的化简）：

978-7-111-46013-8-Part02-1261.jpg

本题的有关计算方法见提高篇01.

（16）分析 利用复合函数求偏导数方法算出978-7-111-46013-8-Part02-1262.jpg、978-7-111-46013-8-Part02-1263.jpg即可得问题的结果.

精解 由于

978-7-111-46013-8-Part02-1264.jpg

所以

978-7-111-46013-8-Part02-1265.jpg

附注 要熟练掌握二元复合函数的一阶和二阶偏导数计算方法.

（17）分析 为了去掉被积函数中的绝对值号，用圆x2+y2=1将D分成D1与D2两部分，然后在各部分上分别计算二重积分后相加即可.

精解 用圆x2+y2=1将D分成D1与D2两部分（如图B.05.1所示），则

978-7-111-46013-8-Part02-1266.jpg

978-7-111-46013-8-Part02-1267.jpg

978-7-111-46013-8-Part02-1268.jpg

图 B.05.1

其中，978-7-111-46013-8-Part02-1269.jpg

将式（2）、式（3）代入式（1）得

978-7-111-46013-8-Part02-1270.jpg

附注 （ⅰ）对于定积分，当被积函数中出现绝对值号时，总是适当划分积分区间，去掉绝对值号；

对于二重积分，当被积函数中出现绝对值号时，总是适当划分积分区域，去掉绝对值号.

978-7-111-46013-8-Part02-1271.jpg也可以如下运算：

由于D2关于直线y=x对称，且x2+y2-1在对称点处的值彼此相等，所以

978-7-111-46013-8-Part02-1272.jpg

本题的有关内容及计算方法见提高篇12.

（18）分析 在（-1，1）内分别计算幂级数978-7-111-46013-8-Part02-1273.jpg和978-7-111-46013-8-Part02-1274.jpg的和函数，然后相加即得s（x）.

精解 在（-1，1）内，

978-7-111-46013-8-Part02-1275.jpg

其中 978-7-111-46013-8-Part02-1276.jpg

将式（2）代入式（1）得

978-7-111-46013-8-Part02-1277.jpg

附注 在（-1，1）内，幂级数978-7-111-46013-8-Part02-1278.jpg也可以按ln（1-x）的麦克劳林级数

978-7-111-46013-8-Part02-1279.jpg

计算，具体如下：在（-1，1）内，

978-7-111-46013-8-Part02-1280.jpg

本题的有关计算方法见提高篇13.

（19）分析 将欲证不等式中的a改为x，且记

978-7-111-46013-8-Part02-1281.jpg

于是只要证明F′（x）≤0（x∈（0，1））即可.

精解 令

978-7-111-46013-8-Part02-1282.jpg

则F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导且由g′（x）≥0知g（x）-g（1）≤0，得

F′（x）=g（x）f′（x）-f′（x）g（1）=f′（x）[g（x）-g（1）]≤0，即F（x）在[0，1]上单调不增，从而对任何a∈[0，1]有

F（a）≥F（1），即

978-7-111-46013-8-Part02-1283.jpg

由此证得

978-7-111-46013-8-Part02-1284.jpg

附注 本题也可以直接计算定积分得到结论：

对任意a∈[0，1]有

978-7-111-46013-8-Part02-1285.jpg

（20）分析 由于方程组（Ⅱ）有非零解，从而方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）组成的方程组有非零解，由此可以算得a，b，c的值，并检验a，b，c取这些值时，（Ⅰ）与（Ⅱ）是否同解即可.

精解 由于方程组（Ⅱ）的系数矩阵秩≤2<3（未知数个数），所以有非零解，于是由方程组（Ⅰ）、（Ⅱ）同解知由（Ⅰ）、（Ⅱ）组成的方程组

978-7-111-46013-8-Part02-1286.jpg

有非零解，从而它的系数矩阵A的秩r（A）<3.另一方面由（Ⅲ）可知，r（A）≥2.所以r（A）=2.

对A施行初等行变换：

978-7-111-46013-8-Part02-1287.jpg

于是由r（A）=2得

978-7-111-46013-8-Part02-1288.jpg即a=2，b=1，c=2或a=2，b=0，c=1.

由于a=2，b=0，c=1时，方程组（Ⅰ）的秩为2，而方程组（Ⅱ）的秩为1，这与（Ⅰ）、

（Ⅱ）同解矛盾，所以a=2，b=1，c=2.

附注 本题也可按以下方法计算：

由于方程组（Ⅰ）的系数矩阵A1的秩为2，所以对A1施行初等行变换：

978-7-111-46013-8-Part02-1289.jpg

由此知a-2=0，即a=2，并且方程组（Ⅰ）与方程组

978-7-111-46013-8-Part02-1290.jpg

同解，从而（Ⅰ）的通解为k（-1，-1，1）T=（-k，-k，k）T（k是任意常数）.（1）

由方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解，式（1）也是方程组（Ⅱ）的解，即有

978-7-111-46013-8-Part02-1291.jpg

即

978-7-111-46013-8-Part02-1292.jpg

解此方程组得 b=0，c=1；b=1，c=2.

由于a=2，b=0，c=1不符合题意，所以a=2，b=1，c=2.

本题的有关内容和计算方法见提高篇18.

（21）分析 （Ⅰ）按分块矩阵乘法计算矩阵PTDP.

（Ⅱ）按正定矩阵的定义判定矩阵B-CTA-1C的正定性.

精解 （Ⅰ）由于AT=A，BT=B，所以由分块矩阵乘法得

978-7-111-46013-8-Part02-1293.jpg

（Ⅱ）B-CTA-1C是正定矩阵.证明如下：

首先由A，B都是实对称矩阵得

（B-CTA-1C）T=BT-CT（A-1）TC=B-CT（AT）-1C=B-CTA-1C，因此，B-CTA-1C是实对称矩阵.

此外，对任意n维非零列向量x，978-7-111-46013-8-Part02-1294.jpg（其中0是m维零列向量）也是非零列向量.由P是可逆矩阵知Py也是非零列向量，因此由D是正定矩阵得

978-7-111-46013-8-Part02-1295.jpg

即对于任意n维非零列向量x有

xT（B-CTA-1C）x>0.

由此证得，B-CTA-1C是正定矩阵.

附注 以下（ⅰ）～（ⅴ）中的每一个都是n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件：

（ⅰ）以A为矩阵的二次型xTAx（其中x是n维列向量）为正定二次型；

（ⅱ）A的各阶顺序主子式都是正的；

（ⅲ）A与n阶单位矩阵（或正定矩阵）合同；

（ⅳ）A的特征值都为正的；

（ⅴ）存在n阶可逆矩阵C，使得A=CTC.

本题是综合题，有关内容与计算方法见提高篇17，20.

（22）分析 （Ⅰ）按边缘概率密度公式计算fX（x）和fY（y）.

（Ⅱ）按公式978-7-111-46013-8-Part02-1296.jpg计算fZ（z）.

（Ⅲ）按条件概率计算公式计算978-7-111-46013-8-Part02-1297.jpg

精解 （Ⅰ）978-7-111-46013-8-Part02-1298.jpg

978-7-111-46013-8-Part02-1299.jpg

（Ⅱ）利用Z=2X-Y的概率密度计算公式得Z的概率密度为

978-7-111-46013-8-Part02-1300.jpg

其中，978-7-111-46013-8-Part02-1301.jpg

即f（x，2x-z）仅在图B.05.2a带阴影的△OAB内取值为1，xOz平面的其他部分取值为0，所以

978-7-111-46013-8-Part02-1302.jpg

（Ⅲ）由条件概率计算公式得

978-7-111-46013-8-Part02-1303.jpg

其中 978-7-111-46013-8-Part02-1304.jpg978-7-111-46013-8-Part02-1305.jpg

978-7-111-46013-8-Part02-1306.jpg

图 B.05.2

将式（2）、式（3）代入式（1）得

978-7-111-46013-8-Part02-1307.jpg

附注 记住以下公式将使有关计算变得快捷：

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y），则

当b≠0时，随机变量Z=aX+bY+c的概率密度可按公式

978-7-111-46013-8-Part02-1308.jpg

当a≠0时，随机变量Z=aX+bY+c的概率密度可按公式

978-7-111-46013-8-Part02-1309.jpg

本题的有关内容及计算方法见提高篇23.

（23）分析 （Ⅰ）978-7-111-46013-8-Part02-1310.jpg，按此计算DYi.

（Ⅱ）由978-7-111-46013-8-Part02-1311.jpg计算Cov（Y1，Yn）.

（Ⅲ）利用E[c（Y1+Yn）2]=σ2计算c的值.

精解 978-7-111-46013-8-Part02-1312.jpg978-7-111-46013-8-Part02-1313.jpg

978-7-111-46013-8-Part02-1314.jpg

（Ⅲ）由题设有 E[c（Y1+Yn）2]=σ2，即

cE[（Y1+Yn）2]=σ2，（1）

其中 978-7-111-46013-8-Part02-1315.jpg

将式（2）代入式（1）得

978-7-111-46013-8-Part02-1316.jpg，即978-7-111-46013-8-Part02-1317.jpg

附注 应熟记随机变量的方差与协方差的性质：

（ⅰ）方差性质

设X，Y是随机变量，则

DC=0（C是常数），

D（CX）=D（CX+b）=C2DX（b，C都是常数），

D（X+Y）=DX+DY+2Cov（X，Y），特别当X与Y相互独立时，D（X+Y）=DX+DY，

DX=E（X2）-（EX）2.

（ⅱ）协方差性质

设X，Y，Z都是随机变量，则

Cov（X，Y）=Cov（Y，X），

Cov（aX，bY）=abCov（X，Y） （a，b是常数），

Cov（X+a，Y）=Cov（X，Y+b）=Cov（X，Y） （a，b是常数），

Cov（X，Y+Z）=Cov（X，Y）+Cov（X，Z），

Cov（X，Y）=E（XY）-EX·EY.

本题的有关内容及计算方法见提高篇24.