2007年全国硕士研究生入学统一考试试题

2007年全国硕士研究生入学统一考试试题

一、选择题：第（1）～（10）小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

（1）当x→0⁺时，与等价的无穷小量是

[ ]

（2）设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错∙误∙的是

（A）若存在，则f（0）=0.

（B）若存在，则f（0）=0.

（C）若存在，则f′（0）存在.

（D）若存在，则f′（0）存在.

[ ]

（3）如下图所示，连续函数y=f（x）在区间[-3，-2]、[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]、[0，2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周.设，则下列结论正确的是

[ ]

（4）设函数f（x，y）连续，则二次积分等于

[ ]

（5）设某商品的需求函数为Q=160-2p，其中Q、p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是

（A）10.（B）20.（C）30.（D）40.

[ ]

（6）曲线的渐近线的条数为

（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.

[ ]

（7）设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则下列向量组线∙性∙相∙关∙的是

（A）α₁-α₂，α₂-α₃，α₃-α₁.（B）α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α_1.

（C）α₁-2α₂，α₂-2α₃，α₃-2α₁.（D）α₁+2α₂，α₂+2α₃，α₃+2α_1.

[ ]

（8）设矩阵，，则A与B

（A）合同，且相似.（B）合同，但不相似.

（C）不合同，但相似.（D）既不合同，也不相似.

[ ]

（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p（0<p<1），则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

（A）3p（1-p）².（B）6p（1-p）².（C）3p²（1-p）².（D）6p²（1-p）².

[ ]

（10）设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，f_X（x），f_Y（y）分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度f_X|Y（x|y）为

[ ]

二、填空题：第（11）～（16）小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

（11）

（12）设函数，则y^（n）（0）=____.

（13）设f（u，v）是二元可微函数，，则

（14）微分方程满足y|_x=1=1的特解为y=____.

（15）设矩阵，则A³的秩为.

（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于的概率为

.

三、解答题：第（17）～（24）小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本题满分10分）

设函数y=y（x）由方程ylny-x+y=0确定，试判断曲线y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性.

（18）（本题满分11分）

设二元函数

计算二重积分，其中D={（x，y）|x|+|y|≤2}.

（19）（本题满分11分）

设函数f（x）、g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导且存在相等的最大值，又f（a）=g（a），f（b）=g（b）.证明：

（Ⅰ）存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η）；

（Ⅱ）存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）.

（20）（本题满分10分）

将函数展开成x-1的幂级数，并指出其收敛区间.

（21）（本题满分11分）

设线性方程组

与方程

x₁+2x₂+x₃=a-1有公共解，求a的值及所有公共解.

（22）（本题满分11分）

设3阶实对称矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=-2，且α₁=（1，-1，1）^T是A的属于λ₁的一个特征向量.记B=A⁵-4A³+E，其中E为3阶单位矩阵.

（Ⅰ）验证α₁是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

（Ⅱ）求矩阵B.

（23）（本题满分11分）

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

（Ⅰ）求P（X>2Y）；

（Ⅱ）求Z=X+Y的概率密度f_Z（z）.

（24）（本题满分11分）

设总体X的概率密度为

其中参数θ（0<θ<1）未知，X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.

（Ⅰ）求参数θ的矩估计量θ^；

（Ⅱ）判断是否为θ²的无偏估计量，并说明理由.