2005年全国硕士研究生入学统一考试试题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.）
（1）极限
（2）微分方程xy′+y=0满足初始条件y（1）=2的特解为____.
（3）设二元函数z=xex+y+（x+1）ln（1+y），则dz|（1，0）=____.
（4）设行向量组（2，1，1，1），（2，1，a，a），（3，2，1，a），（4，3，2，1）线性相关，且a≠1，则a=____.
（5）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P（Y=2）=____.
（6）设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则a=，b=.
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
（7）当a取下列哪个值时，函数f（x）=2x3-9x2+12x-a恰有两个不同的零点？
（A）2.（B）4.（C）6.（D）8.
[ ]
（8）设
，
，
，其中D={（x，y）|x2+y2≤1}，则
（A）I3>I2>I1.（B）I1>I2>I3.（C）I2>I1>I3.（D）I3>I1>I2.
[ ]
（9）设an>0，n=1，2，….若
发散，
收敛，则下列结论正确的是
（A）
收敛，
发散.（B）
收敛，
发散.
（C）
收敛.（D）
收敛.
[ ]
（10）设f（x）=xsinx+cosx，下列命题中正确的是
（A）f（0）是极大值，
是极小值.
（B）f（0）是极小值，
是极大值.
（C）f（0）是极大值，
也是极大值.
（D）f（0）是极小值，
也是极小值.
[ ]
（11）以下四个命题中，正确的是
（A）若f′（x）在（0，1）内连续，则f（x）在（0，1）内有界.
（B）若f（x）在（0，1）内连续，则f（x）在（0，1）内有界.
（C）若f′（x）在（0，1）内有界，则f（x）在（0，1）内有界.
（D）若f（x）在（0，1）内有界，则f′（x）在（0，1）内有界.
[ ]
（12）设矩阵A=（aij）3×3满足A∗=AT，其中A∗为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵.若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为
[ ]
（13）设λ1、λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A（α1+α2）线性无关的充分必要条件是
（A）λ1=0.（B）λ2=0.（C）λ1≠0.（D）λ2≠0.
[ ]
（14）设一批零件的长度服从正态分布N（μ，σ2），其中μ、σ2均未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x=20（cm），样本标准差s=1（cm），则μ的置信度为0.90的置信区间是
[ ]
三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分8分）求
（16）（本题满分8分）
设f（u）具有二阶连续导数，且
，求
（17）（本题满分9分）
计算二重积分
，其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}.
（18）（本题满分9分）
求幂级数
在区间（-1，1）内的和函数s（x）.
（19）（本题满分8分）
设f（x）、g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0，f′（x）≥0，g′（x）≥0.证明：对任意a∈[0，1]，有
（20）（本题满分13分）
已知齐次线性方程组
和
同解，求a，b，c的值.
（21）（本题满分13分）
设
为正定矩阵，其中A，B分别为m阶、n阶对称矩阵，C为m×n阶矩阵.
（Ⅰ）计算PTDP，其中
；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论.
（22）（本题满分13分）
设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求：（Ⅰ）（X，Y）的边缘概率密度fX（x），fY（y）；
（Ⅱ）Z=2X-Y的概率密度fZ（z）；
（23）（本题满分13分）
设X1，X2，…，Xn（n>2）为来自总体N（0，σ2）的简单随机样本，其样本均值为
记
，i=1，2，…，n.
（Ⅰ）求Yi的方差DYi，i=1，2，…，n；
（Ⅱ）求Y1与Yn的协方差Cov（Y1，Yn）；
（Ⅲ）若c（Y1+Yn）2是σ2的无偏估计量，求常数c.