6.1  幂级数收敛域的计算方法

6.1 幂级数 收敛域的计算方法

收敛域不为{0}的幂级数的收敛域可按以下步骤计算：

（1）用以下方法算出的收敛区间：如果（或）存在为ρ，则当ρ≠0时，的收敛区间为；当ρ=0时，的收敛区间为（-∞，+∞）.如果（或）不存在（例如是缺项幂级数）时，将理解成（其中对n=0，1，2，…，u_n（x）不恒为零），然后计算（或），如果它们为ρ（x），则收敛区间为{xρ（x）<1}.

（2）由收敛区间计算收敛域：

当的收敛区间为（-∞，+∞）时，收敛域也为（-∞，+∞）.

当的收敛区间为（-R，R）（R>0）时，考虑在点x=-R，R处的收敛性，将其中的收敛点并入收敛区间即得收敛域.

例6.1 求幂级数的收敛域.

精解 记，则

所以，所给幂级数的收敛区间为

当x=-3，3时，所给幂级数分别为

由于这两个级数的通项都不为零，所以发散.因此所给幂级数的收敛域为（-3，3）.