二阶常系数线性微分方程的求解

7.二阶常系数线性微分方程的求解

设二阶常系数线性微分方程

y″+py′+qy=f（x） （p，q是常数，f（x）是已知函数）.（∗）它对应的齐次线性微分方程为

y″+py′+qy=0.（∗∗）

（∗∗）的通解Y可按它的特征方程r²+pr²+q=0计算.

当f（x）是P_l（x）e^αx，或e^αx[P_m（x）cosβx+Q_n（x）sinβx]（其中P_l（x），P_m（x），Q_n（x）分别是l，m，n次多项式），或它们的线性组合时，则可按有关公式算出式（∗）的一个特解y∗.此时式（∗）的通解为

y=Y+y^∗.

例7.1 求微分方程y″+a²y=sinx的通解，其中a>0.

精解 所给的常系数线性微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程为

r²+a²=0，（1）

故有特征根r=-ia，ia.从而齐次线性微分方程的通解为

Y=C₁cosax+C₂sinax.

下面计算所给微分方程的特解.由于所给微分方程的右端sinx=e^0x[0·cos（1·x）+1·sin（1·x）]，所以应分以下两种情形计算所给微分方程的特解y^∗：

当a≠1时，0+1×i=i不是特征方程（1）的根，所以

y^∗=Acos x+Bsin x.

将它代入所给的微分方程得A=0，，所以此时

当a=1时，0+1×i=i是特征方程（1）的根，所以

y^∗=x（A₁cos x+B₁sin x）.

将它代入所给的微分方程得，B1=0，所以此时

于是，当a≠1时，所给微分方程的通解为

当a=1时，所给微分方程的通解为

例7.2 设函数y=y（x）在（-∞，+∞）上具有二阶导数，且y′≠0，x=x（y）是y=y（x）的反函数，它满足微分方程

求满足y（0）=0，的解y=y（x）.

精解 所给微分方程不是常系数的，因此将y看做未知函数，x看做自变量，改变这个微分方程.

将它代入所给微分方程得

即

式（1）对应的齐次线性微分方程有通解

Y=C₁e^x+C_2e^-x.

此外，式（1）有特解y∗=Acosx+Bsinx.将它代入式（1）得A=0，，所以因此式（1）的通解为

且

于是，由y（0）=0，得C₁=1，C₂=-1.因此满足y（0）=0，的微分方程的解为

例7.3 求满足下列方程的可微函数f（x）：

精解 为消去积分运算，所给方程两边对x求导得

即

两边对x求导得

f′（x）=-f（-x），（2）且 f′（-x）=-f（x），于是有 f″（x）=f′（-x）=-f（x），即f″（x）+f（x）=0.（3）故f（x）满足二阶常系数齐次线性微分方程（3），它的通解为

f（x）=C₁cos x+C₂sin x， 且 f′（x）=-C₁sin x+C₂cos x.

将f（0）=1（由式（1）得到）和f′（0）=-1（由式（2）得到）代入以上两式得

C₁=1，C₂=-1，所以

f（x）=cos x-sin x.