2006年全国硕士研究生入学统一考试试题精解

2006年全国硕士研究生入学统一考试试题精解

一、填空题

（1）分析 将所给极限改写为后再计算.

精解 由于

其中，由于（-1）n=1，，（n→∞），所以

从而

附注 本题也可解答如下：

因为数列由两个子数列与组成，它们的极限都为1，所以

（2）分析 算出f‴（x）后用x=2代入即得f‴（2）.

精解 由于

f″（x）=[e^f（x）]′=e^f（x）f′（x）=e^2f（x），

f‴（x）=[e^2f（x）]′=e^2f（x）·2f′（x）=2e^3f（x），

所以

f‴（2）=2e^3f（2）=2e³.

附注 题中f（x）的三阶可导性是如下推得的：

由于f（x）在点x=2的某个邻域内可导，所以由f′（x）=e^f（x）知，f（x）在这个邻域内二阶可导，同样可以推出f（x）在这个邻域内三阶可导.

（3）分析 利用微分形式不变性计算dz|_（1，2）.

精解 由于

dz=df（4x²-y²）=f′（4x²-y²）d（4x²-y²）

=f′（4x²-y²）（8xdx-2ydy），

所以

dz|_（1，2）=f′（0）（8·1·dx-2·2·dy）

=4dx-2dy.

附注 本题也可按公式计算.

由于

所以

dz|_（1，2）=4dx^-2dy.

（4）分析 按|MN|=|M|·|N|（其中M，N都是n阶矩阵）计算.

精解 所给算式可以改写成

B（A-E）=2E，

所以，|B|A-E=4，其中

因此

附注 关于n阶矩阵的行列式有以下性质（应熟记）：

设A，B都是n阶矩阵，则

（ⅰ）|kA|=kⁿ|A|（k为常数）.

（ⅱ）|A^T|=|A|.

（ⅲ）|AB|=|A|B|.

（ⅳ）设A是可逆矩阵，则

（ⅴ）当n≥2时，|A^∗|=|A|^n-1.

（5）分析 利用{max（X，Y）≤1}={X≤1，Y≤1}计算欲求的概率.

精解

附注 顺便计算概率P（min{X，Y}≤1）：

（6）分析 由于E（S²）=DX，所以只要算出总体方差即可.

精解 E（S²）=DX=E（X²）-（EX）²，（1）

其中

将它们代入式（1）得

E（S²）=2.

附注 应当记住以下结论：

设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X（EX与DX都存在）的简单随机样本，记样本均值为，样本方差为，则

二、选择题

（7）分析 画出y=f（x）的概图，然后按Δy，dy的几何表示选择正确选项.

精解 由f′（x）>0和f″（x）>0可得函数y=f（x）的概图如图B.06.1所示，其中MT是曲线y=f（x）在点M（x₀，f（x₀））处的切线.于是当Δx>0时，

由图可知，0<dy<Δy.

因此本题选（A）.

图 B.06.1

附注 本题是利用Δy与dy的几何解释获解的，也可以用分析方法求解，具体如下：

当Δx>0时，有

（8）分析 先利用函数f（x）在点x=0处连续及推出f（0）的值，再利用左、右导数的定义和推出左导数或右导数存在.

精解 由函数f（x）在点x=0处连续，所以由知；其次，

因此本题选（C）.

附注 应记住以下结论：

（ⅰ）如果函数φ（x）在点x=0处连续，且，则φ（0）=0，φ′（0）=A.

（ⅱ）如果函数φ（x）在点x=0处连续，且（或），则φ（0）=0，φ′₊（0）=A（或φ′_-（0）=A）.

（9）分析 按收敛级数性质判定正确选项.

精解 由级数收敛知，级数与都收敛，所以级数收敛.

因此本题选（D）.

附注 本题题解中应用的收敛级数性质是：

（ⅰ）设收敛，则收敛（其中k为常数）.

（ⅱ）设与都收敛，则收敛.

（10）分析 根据一阶线性微分方程解的构造即可获得正确选项.

精解 由于y₁（x）-y₂（x）是对应齐次线性微分方程y′+P（x）y=0的非零解，所以它的通解为C[y₁（x）-y₂（x）]，从而原微分方程的通解为y₁（x）+C[y₁（x）-y₂（x）].

因此本题选（B）.

附注 一阶线性微分方程y′+P（x）y=Q（x）的通解为

其中y^∗是所给一阶线性微分方程的特解，Y是对应的齐次线性微分方程y′+P（x）y=0的通解.

（11）分析 用二元函数条件极值的拉格朗日乘数法判定正确选项.

精解 函数f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的极值点可用拉格朗日乘数法求解.故作拉格朗日函数

F（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），

则（x₀，y₀）满足：

即

其中λ₀是对应（x₀，y₀）的λ值.消去上式中的λ₀得

f_x（x₀，y₀）φ_y（x₀，y₀）-f_y（x₀，y₀）φ_x（x₀，y₀）=0.

由此可知，当f_x（x₀，y₀）≠0时，由于φ_y（x₀，y₀）≠0必有f_y（x₀，y₀）≠0.

因此本题选（D）.

附注 设f（x，y），φ（x，y）都是可微函数，则f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的极值点（x₀，y₀）满足方程组

但满足上述方程组的点（x₀，y₀），未必是函数f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的极值点，只是可能极值点.

（12）分析 由于α₁，α₂，…，α_s是抽象的向量组，所以其线性相关性的判定应从定义入手.

精解 先考虑选项（A）的正确性.

由向量组α₁，α₂，…，α_s线性相关知，存在一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，使得

k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0.

从而存在一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，使得

k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s=A（k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s）=0.

所以，向量组Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关.

因此本题选（A）.

附注 这里顺便指出，当向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关时，向量组Aα₁，Aα₂，…，Aα_s未必线性无关，也未必线性相关，即Aα₁，Aα₂，…，Aα_s的线性相关性与A有关.

（13）分析 写出初等变换对应的初等矩阵即可.

精解 由题意得

这是由于

因此本题选（B）.

附注 应记住m×n矩阵A的每个初等变换对应的初等矩阵.

A的每个初等行变换所对应的初等矩阵是对m阶单位矩阵作相应的初等行变换而成的矩阵；A的每个初等列变换所对应的初等矩阵是对n阶单位矩阵作相应的初等列变换而成的矩阵.

每个n阶初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵是对n阶单位矩阵施以与此初等矩阵对应的初等变换的逆变换（例如，交换第i行与第j行的逆变换是交换第i行与第j行，第i行乘上不为零的常数c的逆变换是第i行乘上；第i行乘以常数k加到第j行的逆变换是第i行乘以-k加到第j行.对初等列变换也有同样的说法）.

（14）分析 引入随机变量X，Y的标准化随机变量即可判定正确选项.

精解 记，，则标准化随机变量X⁰与Y⁰都服从标准正态分布N（0，1）.于是有

所以，，即σ₁<σ2.

因此本题选（A）.

附注 对于服从正态分布N（_μ，σ²）的随机变量X，在考虑它的有关概率问题时，总需将它变成标准化随机变量，即引入，则X⁰～N（0，1）.

三、解答题

（15）分析 （Ⅰ）对固定的x>0，计算.

（Ⅱ）由（Ⅰ）算得的g（x），计算∞-∞型未定式极限

精解 （Ⅰ）对x>0有

附注 （Ⅱ）的解答中有两点值得注意：

（ⅰ）是∞-∞型未定式极限，利用通分将其化为型未定式极限.

（ⅱ）由于的分子的等价无穷小不易找到，所以使用洛必达法则计算.

本题的有关计算方法见提高篇01.

（16）分析 画出积分区域D的概图，然后按“先x后y”方法计算所给的二重积分.

精解 积分区域D如图B.06.2的阴影部分所示，由于被积函数关于x容易积分，所以采用“先x后y”的方法，则

附注 本题也可按“先y后x”的方法计算，但计算起来比较复杂.

图 B.06.2

本题的有关内容及计算方法见提高篇12.

（17）分析 只要证明f（x）=xsinx+2cosx+πx在（0，π）上是单调增加函数即可.

精解 由于f（x）在（0，π）上二阶可导且对x∈（0，π）有

f′（x）=sinx+xcosx-2sinx+π

=-sinx+xcosx+π，

f″（x）=-cosx+cosx-xsinx=-xsinx<0，所以，f′（x）在（0，π）上单调减少，故有

f′（x）>f′（π）=0 （x∈（0，π））.

从而f（x）在（0，π）上单调增加，特别对0<a<b<π有f（b）>f（a），即

bsin b+2cos b+πb>asin a+2cos a+πa.

附注 当辅助函数f（x）的导数f′（x）符号不易确定时，可考虑计算f″（x），通过它的符号确定f′（x）的符号.

本题的有关内容与证明方法见提高篇05.

（18）分析 （Ⅰ）设曲线L的方程为y=f（x），由题意列出f（x）的微分方程，求解得L的方程.

（Ⅱ）画出曲线L与直线y=ax所围成的平面图形D的概图，并算出它的面积关于a的表达式，然后由题设确定a的值.

精解 （Ⅰ）设曲线L的方程为y=f（x），则它在点P（x，y）处的切线斜率为，直线OP在点P的斜率为.于是由题设得

它的通解为

由于曲线L过点M（1，0），所以将x=1，y=0代入式（1）得

0=C+a，即C=-a.

代入式（1）得曲线L的方程为y=-ax+ax²（a>0）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）算得的L方程知，曲线L与直线y=ax所围成的平面图形D如图B.06.3阴影部分所示，

因此由题设得 ，即a=2.

附注 当平面图形G={（x，y）}a≤x≤b，f₁（x）≤y≤f₂（x）}（其中f₁（x），f₂（x）是连续函数）时，其面积的计算公式为

当平面图形G是由曲线y=φ₁（x），y=φ₂（x）及直线x=a，x=b（a<b）围成时，其面积的计算公式为

图 B.06.3

本题的有关计算方法见提高篇12，15.

（19）分析 （Ⅰ）由于所给幂级数是缺项幂级数，所以将其看做n=1，2，…）.然后用正项级数比值判别法考虑所给幂级数的收敛域.

（Ⅱ）将所给幂级数改写成，分别求出其中两个幂级数的和函数即可得到所给幂级数的和函数.

精解 （Ⅰ）记，则

从而，所给幂级数的收敛区间为{x|x²<1}=（-1，1）.

当x=1与-1时，所给幂级数分别成为

与

它们显然都是收敛的，所以所给幂级数的收敛域为[-1，1].

（Ⅱ）为了计算所给幂级数在[-1，1]上的和函数s（x），改写所给幂级数为

其中

将式（2），式（3）代入式（1）得

所以

s（x）=2x²arctanx-xln（1+x²），x∈[-1，1].

附注 所给幂级数的和函数s（x）也可用以下方法计算：，则s（x）=xs₁（x）.

由于对x∈（-1，1）有

所以

因此

s（x）=x[2xarctan x-ln（1+x²）]=2x²arctan x-xln（1+x²）（x∈[-1，1]）.

本题的有关内容和计算方法见提高篇13.

（20）分析 记A=（α₁，α₂，α₃，α₄），利用|A|=0确定a的值，然后对此a值，寻找向量组α₁，α₂，α₃，α₄的一个极大线性无关组，并将其他向量用该极大线性无关组线性表出.

精解 记

则矩阵A的行列式

于是当a=-10，0时，由|A|=0知向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性相关.

当a=-10时，

，此时矩阵A有3阶子行列式，所以α₁，α₂，α₃是向量组α₁，α₂，α₃，α₄的一个极大线性无关组，并且α₄=-α₁-α₂-α₃.

当a=0时，，显然α₁是向量组α₁，α₂，α₃，α₄的一个极大线性无关组，并且α₂=2α₁，α₃=3α₁，α₄=4α_1.

附注 下面计算a=-10时，α₁，α₂，α₃，α₄的所有极大线性无关组.

由于此时

由此可知，α₁，α₂，α₃是向量组α₁，α₂，α₃，α₄的一个极大线性无关组，此外还有极大线性无关组

α₁，α₂，α₄；α₁，α₃，α₄；α₂，α₃，α₄.

（21）分析 （Ⅰ）由题设可得A的特征值为λ=3，0（二重）及对应的特征向量.

（Ⅱ）将A的特征向量ξ（对应λ=3）和α₁，α₂（它们都对应λ=0）正交单位化得正交矩阵Q，而

（Ⅲ）由Q^TAQ=Λ可得A，然后由计算

精解 （Ⅰ）由于A的各行元素之和均为3，所以有

因此λ=3是A的特征值，它对应的所有特征向量为Cξ=C（1，1，1）^T（其中C是任意非零常数）.

由于α₁，α₂是线性方程组Ax=0的两个解，所以有

Aα₁=0·α₁，Aα₂=0·α_2.

因此，λ=0是A的（二重）特征值，其对应的所有特征向量为

C₁α₁+C₂α₂=C₁（-1，2，-1）^T+C₂（0，-1，1）^T（其中C₁，C₂是不全为零的任意常数）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A有特征向量ξ，α₁，α₂，为了计算Q，需将它们正交单位化.

正交化：由于ξ与α₁，α₂正交，所以只要将α₁，α₂正交化即可，即

β₁=α₁，

单位化：

所以，所求的正交矩阵，对角矩阵，它们使得Q^TAQ=Λ成立.

（Ⅲ）由Q^TAQ=Λ得

由所以，

附注 将题中的“向量α₁=（-1，2，-1）^T和α₂=（0，-1，1）^T是线性方程组Ax=0的两个解”改成“η₁、η₂是线性方程组Ax=0的两个线性无关解”，同样可解本题（实际上，只要利用η₁，η₂应与ξ=（1，1，1）^T正交即可求出它们）.

本题的有关内容及计算方法见提高篇19，20.

（22）分析 （Ⅰ）先按定义计算随机变量Y的分布函数F_Y（y），然后求导得到f_Y（y）.

（Ⅱ）按Cov（X，Y）=Cov（X，X²）=E（X³）-EX·E（X²）计算Cov（X，Y）.

（Ⅲ）按分布函数的定义计算的值.

精解 （Ⅰ）由于Y=X²对应的函数为y=x²，它在f_X（x）≠0的区间（-1，2）内不是单调函数，所以应从计算Y的分布函数F_Y（y）入手计算f_Y（y）.

F_Y（y）=P（Y≤y）=P（X²≤y），（1）

其中，当y<0时，P（X²≤y）=0；

当y≥0时，

由此可知，当0≤y<1时，

当1≤y<4时，

当y≥4时，

将以上计算代入式（1）得

所以

（Ⅱ）Cov（X，Y）=Cov（X，X²）=E（X³）-EX·E（X²），（2）

其中

将式（3）、式（4）及式（5）代入式（2）得

附注 f_Y（y）可以用快捷方法计算，具体如下：

记y=g（x）=x²，则y=g（x）在f_X（x）≠0的区间（-1，2）内的单调区间为（-1，0）和（0，2）.在（-1，0）内，y=g（x）可导，反函数，h₁′（y）=；在[0，2）内，y=g（x）可导，反函数，所以

本题是综合题，其有关内容及计算方法见提高篇22，24.

（23）分析 （Ⅰ）计算EX，并令，即可得到θ的矩估计量.

（Ⅱ）作似然函数L（θ），然后用最大似然估计法计算θ的最大似然估计量.

精解

令，即由此得所以由矩估计法知，θ的最大矩估计量为

（Ⅱ）似然函数L（θ）=f（x₁；θ）f（x₂；θ）…f（x_n；θ）的最大值只能在0<x₁，x₂，…，x_n<2的区域内取到，所以它可简记为

L（θ）=θ^N（1-θ）n^-N，

即 lnL（θ）=Nlnθ+（n-N）ln（1-θ）.

求导得

令，即，解此方程得.所以，由最大似然估计法知，θ的最大似然估计量

附注 θ的最大似然估计量是无偏的，证明如下：

容易知道，N～B（n，θ），所以

本题的有关内容和计算方法见提高篇26.