数列极限存在准则的应用

2.数列极限存在准则的应用

当数列极限不易用运算法则和函数极限计算时，往往使用极限存在准则进行计算.

数列极限存在准则有以下两个：

数列极限存在准则Ⅰ 设数列{x_n}，{y_n}，{z_n}，如果它们满足y_n≤x_n≤z_n（n=1，2，…），且，则

注 在利用数列极限存在准则Ⅰ计算时，可以通过适当缩小与放大x_n，寻找数列{y_n}与{z_n}.

数列极限存在准则Ⅱ 设数列{x_n}单调不减有上界或单调不增有下界，则存在.

注 当{x_n}由递推式x₁，x_n+1=f（x_n）（n=1，2，…）定义时，往往使用这一准则，并且当证得存在时，记其极限为A，对所给递推式两边令n→∞取极限得A=f（A）.解此方程所得A的值，即为的值.

例2.1 计算下列数列极限：

（1），其中

（2），其中

精解 （1）由于不是某个函数的积分和式，现对它作适当缩小与放大得

并且（由于是函数2^x在[0，1]上的积分和式）

所以由数列极限存在准则Ⅰ知

（2）容易看到

并且（因为是收敛的反常积分），所以，由数列极限存在准则Ⅰ知

例2.2 求下列极限：

（1），其中{x_n}是由递推式0<x₁<π，x_n+1=sin x_n（n=1，2，…）定义的数列；

（2），其中{x_n}是（1）中定义的数列.

精解 （1）由于{x_n}是由递推式定义的，所以宜用数列极限存在准则Ⅱ求解.

由x₁∈（0，π）知{x_n}是正项数列（容易看到x_n<1，n=2，3，…），

x_n+1=sin x_n<x_n（n=1，2，…），即{x_n}单调减少有下界，所以由数列极限存在准则Ⅱ知

存在，记为A，则A∈[0，1）.

在递推式x_n+1=sinx_n的两边令n→∞取极限得A=sinA.显然在[0，1）上该方程仅有解A=0.因此

=0.

（2）由于

所以将上式右边的x_n换为x，得1^∞型未定式极限

其中

因此

例2.3 （1）证明：对任意的正整数n，成立；

（2）设（n=1，2，…），证明数列{a_n}收敛.

精解 （1）由于ln（1+x）在上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在ξ∈，使得，即

所以由得

（2）现用数列极限存在准则Ⅱ证明{a_n}收敛.

对n=1，2，…，由

以及

知{a_n}单调减少有下界.因此由数列极限存在准则Ⅱ知{a_n}收敛.