2009年全国硕士研究生入学统一考试试题

2009年全国硕士研究生入学统一考试试题

一、选择题：第（1）～（8）小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合试题要求.

（1）函数的可去间断点的个数为

（A）1.（B）2.（C）3.（D）无穷多个.

[ ]

（2）当x→0时，f（x）=x-sinax与g（x）=x²ln（1-bx）是等价无穷小，则

[ ]

（3）使不等式成立的x的范围是

[ ]

（4）设函数y=f（x）在区间[-1，3]上的图形为

则函数的图形为

[ ]

（5）设A，B均为2阶矩阵，A^∗，B^∗分别为A，B的伴随矩阵.若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵的伴随矩阵为

[ ]

（6）设A，P均为3阶矩阵，P^T为P的转置矩阵，且.若P=（α₁，α₂，α₃），Q=（α₁+α₂，α₂，α₃），则Q^TAQ为

[ ]

（7）设事件A与事件B互不相容，则

[ ]

（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N（0，1），Y的概率分布为.记F_Z（z）为随机变量Z=XY的分布函数，则函数F_Z（z）的间断点个数为

（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.

[ ]

二、填空题：第（9）～（14）小题，每小题4分，共24分.

（10）设z=（x+e^y）^x，则

（11）幂级数的收敛半径为.

（12）设某产品的需求函数为Q=Q（p），其对价格p的弹性ε_p=0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.(https://www.daowen.com)

（13）设α=（1，1，1）^T，β=（1，0，k）^T.若矩阵αβ^T相似于，则k=____.

（14）设X₁，X₂，…，X_n为来自二项分布总体B（n，p）的简单随机样本，X和S²分，则ET=.

三、解答题：第（15）～（23）小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）

求二元函数f（x，y）=x²（2+y²）+ylny的极值.

（16）（本题满分10分）

计算不定积分.

（17）（本题满分10分）

计算二重积分，其中D={（x，y）|（x-1）²+（y-1）²≤2，y≥x}.

（18）（本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则存在ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.

（Ⅱ）证明：若函数f（x）在x=0处连续，在（0，δ）（δ>0）内可导，且，则f′₊（0）存在，且f′₊（0）=A.

（19）（本题满分10分）

设曲线y=f（x），其中f（x）是可导函数，且f（x）>0.已知曲线y=f（x）与直线y=0，x=1及x=t（t>1）所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程.

（20）（本题满分11分）

设

（Ⅰ）求满足Aξ₂=ξ₁，A²ξ₃=ξ₁的所有向量ξ₂，ξ₃；

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ₂，ξ₃，证明：ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关.

（21）（本题满分11分）

设二次型

f（x₁，x₂，x₃）=ax²₁+ax²₂+（a-1）x²₃+2x₁x₃-2x₂x_3.

（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；

（Ⅱ）若二次型f的规范形为y²₁+y²₂，求a的值.

（22）（本题满分11分）

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

（Ⅰ）求条件概率密度f_Y|X（y|x）；

（Ⅱ）求条件概率P（X≤1|Y≤1）.

（23）（本题满分11分）

袋中有1个红球、2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次，每次取一个球.以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.

（Ⅰ）求P（X=1|Z=0）；

（Ⅱ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布.