2011年全国硕士研究生入学统一考试试题精解

2011年全国硕士研究生入学统一考试试题精解

一、选择题

（1）分析 利用计算函数f（x）当x→0时的等价无穷小.

精解 由于

所以k=3，c=4.

因此本题选（C）.

附注 本题也可以用洛必达法则逐一计算函数f（x）与x，x²，x³，…是否为同阶无穷小：

由此可知，f（x）=3sinx-sin3x～4x³（x→0），即k=3，c=4.

（2）分析 由于函数f（x）仅在点x=0处可导，因此需用导数定义计算所给的极限.

精解

其中（利用f（x）在点x=0处可导），（利用f（t）在点t=0处可导）.

将它们代入式（1）得

因此本题选（B）.

附注 可考虑与本题类似的问题.

设函数f（x）在点x=1处可导，求极限具体计算如下：

其中

因此

（3）分析 利用收敛级数性质判定.

精解 由于级数收敛，所以对它任意加括号后而成的级数仍收敛，特别是两项两项地加括号而成的级数收敛.

因此本题选（A）.

附注 收敛级数有以下性质：

设级数收敛，则对它任意加括号后所成的级数仍收敛.但反之未必成立，就是说，如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定原来的级数也收敛.

（4）分析 由于I，J，K都是上的定积分，或仅有瑕点x=0的收敛的反常积分，所以只要比较被积函数在内的大小即可.

精解 由于对有

sin x<cos x<cot x，

所以由lnu是单调增加函数知

lnsin x<lncos x<lncot x.

于是

因此本题选（B）.

附注 当函数f（x）与g（x）在[a，b]上连续时，如果f（x）<g（x）（x∈（a，b）），则

当函数f（x）与g（x）在（a，b]上连续时，如果x=a是f（x）或g（x）的瑕点，但作为反常积分的或都收敛，并且f（x）<g（x）（x∈（a，b）），则

（5）分析 写出对应初等变换的初等矩阵，并进行运算即可.

精解 由题设知

AP₁=B，P₂B=E₃ （E₃是三阶单位矩阵），

所以，A=BP₁^-1=P₂^-1P₁^-1=P₂P₁^-1（由于P₂^-1=P₂）.

因此本题选（D）.

附注 应熟记矩阵的初等变换与初等矩阵之间的对应关系.

（6）分析 利用非齐次线性方程组解的构造判定正确选项.

精解 由于非齐次线性方程组Ax=β有3个线性无关的解η₁，η₂，η₃，则η₂-η₁，η₃-η₁是对应的导出组Ax=0的两个线性无关的解，从而Ax=0的基础解系中至少有两个解.因此选项（A）、（B）都是不正确的.此外，容易看到不是Ax=β的解，所以选项（D）应排除.

因此本题选（C）.

附注 实际上，矩阵A的秩r（A）=1.证明如下：

由于Ax=0的基础解系中至少有两个解，所以r（A）≤3-2=1.

由于A是非零矩阵（线性方程组的系数矩阵必是非零矩阵），所以r（A）≥1.从而r（A）=1.

（7）分析 利用连续型随机变量的分布函数的导数为概率密度这一结论即可.

精解 由于F₁（x），F₂（x）都为分布函数时，F₁（x）F₂（x）也是分布函数，且它是可导函数，所以，其导数是概率密度.

因此本题选（D）.

附注 应记住以下结论：

如果F₁（x），F₂（x）都是分布函数，则F₁（x）F₂（x）也是分布函数.

（8）分析 只要分别计算ET₁，ET₂，DT₁及DT₂即可.计算时利用

EX=DX=λ.

精解

由此可知，ET₁<ET₂，DT₁<DT_2.

因此本题选（D）.

附注 设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，且X的数学期望与方差分别为_μ，σ²，并记（样本均值），则

记住以上的结论.

二、填空题

（9）分析 先利用重要极限公式算出函数f（x）的表达式，然后求导.

精解 由于所以，f′（x）=（xe^3x）′=（1+3x）e^3x.

附注 重要极限公式常表示为

（10）分析 令，则z=（1+u）^u=e^uln（1+u），然后利用一阶微分形式不变性计算dz.

精解 由于

所以

附注 利用一阶微分形式不变性往往能较快捷地算出复合函数微分.所谓微分形式不变性是指：

设f（u）是可微函数，则不管u是自变量或自变量的可微函数都有

df（u）=f′（u）du.

（11）分析 由隐函数求导算出即可得到所求的切线方程.

精解 所给方程两边对x求导得

将x=y=0代入，上式成为

即

因此所求的切线方程为y-0=-2（x-0），即y=-2x.

附注 应熟练掌握隐函数求导数或微分的方法.

（12）分析 按旋转体体积公式计算.

精解 记由曲线，直线x=2及x轴所围成的平面图形为D，即

所以所求的体积为

附注 记住以下的旋转体体积计算公式：

（ⅰ）平面区域D={（x，y）|a≤x≤b，0≤f₁（x）≤y≤f₂（x）}绕x轴旋转而成的旋转体体积；

（ⅱ）平面区域D={（x，y）|0≤a≤x≤b，f₁（x）≤y≤f₂（x）}绕y轴旋转而成的旋转体体积

（13）分析 只要算出矩阵A的正交相似对角矩阵即可.

精解 由于A是实对称矩阵，它可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得（其中λ₁，λ₂，λ₃是A的特征值）.

由于A的各行元素之和为3，所以有

即A有特征值λ₁=3.由于r（A）=1，所以λ₂=λ₃=0.因此

从而f在正交变换x=Qy（其中x=（x₁，x₂，x₃），y=（y₁，y₂，y₃）^T）下的标准形为3y²_1.

附注 记住以下结论：

设n阶矩阵A的各行元素之和为k，则A有特征值k，且其对应的特征向量有

（14）分析 由ρ=0知服从正态分布的随机变量X与Y相互独立，由此即可算出E（XY²）.

精解 由于（X，Y）～N（μ，μ；σ²，σ²；0）（注意ρ=0），所以X与Y相互独立，且都服从N（μ，σ²）.从而有

E（XY²）=EX·EY²=EX[DY+（EY）²]=μ（σ²+μ²）.

附注 二维正态分布的以下性质是常用的，应记住：

（ⅰ）当（X，Y）～N（μ₁，μ₂；σ²₁，σ²₂；ρ）时，X～N（μ₁，σ²₁），Y～N（μ₂，σ²₂）.

（ⅱ）当（X，Y）～N（μ₁，μ₂；σ²₁，σ²₂；ρ）时，X与Y相互独立的充分必要条件是ρ=0.

（ⅲ）当X与Y相互独立，且X～N（μ₁，σ²₁），Y～N（μ₂，σ²₂），a，b是不全为零的常数时，aX+bY～N（aμ₁+bμ₂，a²σ²₁+b²σ²₂）.

（ⅳ）当（X，Y）～N（μ₁，μ₂；σ²₁，σ²₂；ρ），a，b是不全为零常数时，aX+bY～N（aμ₁+bμ₂，a²σ²₁+bσ²₂+2abρσ₁σ₁）.

三、解答题

（15）分析 所给极限是型未定式极限.利用函数

`及sinx的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式寻找分子的等价无穷小后，用等价无穷小代替计算所给极限.

精解 由和sinx=x+ο（x³）知

此外，xln（1+x）～x²（x→0），所以

附注 利用五个常用函数的麦克劳林公式（带佩亚诺型余项），往往能快捷得到比较复杂的初等函数在x→0时的等价无穷小：

本题的有关内容及计算方法见提高篇01.

（16）分析 算出后，用f（1，1）=2，f₁′（1，1）=f₂′（1，1）=0代入即得

精解 由于

所以

因此，

附注 应熟练掌握二元复合函数的一、二阶偏导数的计算.

（17）分析 先令，然后用分部积分法计算.

精解

附注 当被积函数中含有无理式时，往往通过适当的变量代换，先去掉其中的无理式.此外，在不定积分计算中，往往综合运用换元积分法与分部积分法，使计算更快捷有效.

（18）分析 记函数，然后用导数方法证明方程f（x）=0恰有两个实根.

精解 函数在（-∞，+∞）上可导，且

显然，f′（x）=0只有两个实根据此列表如下：

由表可知，方程f（x）=0有实根，此外在内还有一个实根，记为x₀.由此证得方程f（x）=0恰有两个实根和x=x0.

附注 计算函数f（x）在（a，b）内的单调区间、极值及方程f（x）=0在（a，b）内的实根个数时，如果f（x）的驻点及f′（x）的不存在的点的个数大于等于2，总是列出类似题解中所列的表，可快捷地获得结果.

本题的有关内容见提高篇05.

（19）分析 先按所给的等式建立关于函数f（x）的微分方程，然后求解微分方程得到f（x）的表达式.

精解 由于

所以，由

得

上式两边求导得

化简后成为

它的通解为

由于f（t）在[0，1]上连续，所以由

得C=4.将它代入式（1）得，即

附注 注意题解中的微分方程是分两步才建立的：

（ⅰ）通过二重积分的计算建立方程

（ⅱ）通过求导将上述方程转换成微分方程.

本题是综合题，有关内容及计算方法见提高篇12，13.

（20）分析 可用矩阵方程快捷地解本题.

精解 （Ⅰ）由于α₁，α₂，α₃不能由β₁，β₂，β₃线性表示，所以矩阵方程

（β₁，β₂，β₃）X=（α₁，α₂，α₃）

无解（其中X是三阶未知矩阵），从而

r（β₁，β₂，β₃）<r（β₁，β₂，β₃┆α₁，α₂，α₃）.（1）

对增广矩阵（β₁，β₂，β₃︙α₁，α₂，α₃）施行初等行变换：

所以由式（1）得a=5.

（Ⅱ）为了确定β₁，β₂，β₃关于α₁，α₂，α₃的线性表示式，构造矩阵方程

（α₁，α₂，α₃）Y=（β₁，β₂，β₃）（其中Y是三阶未知矩阵）.（2）

对式（2）的增广矩阵（α₁，α₂，α₃︙β₁，β₂，β₃）（将a=5代入）施行初等行变换：

所以

故 β₁=2α₁+4α₂-α₃，β₂=α₁+2α₂，β₃=5α₁+10α₂-2α_3.

附注 求解矩阵方程是计算向量组之间线性表示式的有效方法.如果A是可逆矩阵，则矩阵方程AX=B可直接获解，即

X=A^-1B.

对于本题的（α₁，α₂，α₃）Y=（β₁，β₂，β₃），由于

可逆，且其逆矩阵为 ，

所以

故 β₁=2α₁+4α₂-α₃，β₂=α₁+2α₂，β₃=5α₁+10α₂-2α_3.

本题是综合题，其有关内容见提高篇18.

（21）分析 （Ⅰ）按所给条件，利用特征值与特征向量概念，计算矩阵A的特征值与特征向量.计算时要利用实对称矩阵对应不同特征值的特征向量正交的性质.

（Ⅱ）利用（Ⅰ）将矩阵A正交相似对角化，从而得到A.

精解 （Ⅰ）由题设，即

由此知，矩阵A有特征值λ=-1，1，对应的特征向量分别为C₁（1，0，-1）^T，C₂（1，0，1）^T（其中C₁，C₂是任意非零常数）.

由于r（A）=2，所以矩阵A的第三个特征值为λ=0，记它对应的特征向量为（x₁，x₂，x₃）^T，则它与（1，0，-1）^T，（1，0，1）^T都正交，即满足：

该三元方程组的基础解系为（0，1，0）^T，所以λ=0对应的特征向量为C₃（0，1，0）^T（其中C₃是任意非零常数）.

（Ⅱ）由于矩阵A的对应特征值λ=-1，1，0的特征向量（1，0，-1）^T，（1，0，1）^T和（0，1，0）^T两两正交，现将它们单位化得

记（正交矩阵），则，

所以

附注 在第（Ⅱ）小题中也可以由A的对应特征值λ=-1，1，0的三个特征向量为列向量构成矩阵P，即记

于是由得

（22）分析 （Ⅰ）利用题设P（X²=Y²）=1，即P（X=0，Y=-1）=P（X=0，Y=1）=P（X=1，Y=0）=0及所给的（X，Y）的边缘概率分布，计算二维随机变量（X，Y）的概率分布.

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中算得的（X，Y）的概率分布，计算随机变量Z的概率分布.

（Ⅲ）利用二维随机变量（X，Y）的概率分布和ρ_XY的计算公式计算ρ_XY.

精解 （Ⅰ）由P（X²=Y²）=1及X与Y的概率分布知（X，Y）的概率分布及边缘概率分布应如下表所示：

由表可知，，所以（X，Y）的概率分布为

（Ⅱ）Z可能取的值有-1，0，1，且

因此Z的概率分布可如下表所示：

（Ⅲ）由于，；EY=0，，所以由

得

附注 本题表明虽然X与Y不相关，但X与Y不独立.

通常，当具有正方差的随机变量X与Y相互独立时，必不相关；但反之未必正确.当（X，Y）服从二维正态分布时，X与Y相互独立的充分必要条件为X与Y不相关.

本题是综合题.有关内容及计算方法见提高篇21，24.

（23）分析 先画出区域G的图形和写出二维随机变量（X，Y）的概率密度，然后按边缘概率密度与条件概率密度公式计算f_X（x）与f_X|Y（x|y）.

精解 区域G如图B.11.1阴影部分所示，因此（X，Y）的概率密度为

图 B.11.1

（Ⅱ）为计算f_X|Y（x|y），先计算f_Y（y）：

显然，仅在[0，1）上f_Y（y）≠0，所以对任意y∈[0，1），

附注 对于任意固定的y∈[0，1），f（x，y）成为x的函数，它定义在如图B.11.2所示的与x轴平行的直线l上，l位于G内部的区间为[y，2-y]，所以对任意固定的y∈[0，1），有

图 B.11.2