2012年全国硕士研究生入学统一考试试题精解
一、选择题
（1）分析 分别确定曲线
的铅垂和非铅垂渐近线的系数即可.
精解 y在点x=-1，1处无定义，但
所以，所给曲线只有一条铅垂渐近线x=1.此外，由
所以，所给曲线只有一条非铅垂渐近线y=1（它为水平渐近线）.
因此本题选（C）.
附注 在计算曲线y=f（x）的非铅垂渐近线时，如果
，则必有非铅垂渐近线（水平渐近线）y=k（当以上的极限不存在时，应考虑x→+∞与x→-∞的极限）.
（2）分析 按导数定义计算f′（0）.
精解 由于f（0）=0，所以
因此本题选（A）.
附注 用以下方法也可计算f′（0）：
由于
f′（x）={（ex-1）[（e2x-2）（e3x-3）…（enx-n）]}′
=ex（e2x-2）（e3x-3）…（enx-n）+（ex-1）[（e2x-2）…（enx-n）]′，
所以，
f′（0）=1×（-1）×（-2）×…×[-（n-1）]+0×[（e2x-2）…（enx-1）]′x=0
=（-1）n-1（n-1）！.
（3）分析 确定
对应的二重积分的积分区域D，即可判定正确选项.
精解 
其中D={（x，y）0≤x≤2，
，如图B.12.1阴影部分所示，所以
因此本题选（B）.
附注 要将极坐标系下的二次积分转换成直角坐标系下的二次积分，首先应画出对应的二重积分的积分区域D，并且写出它在直角坐标系中的表达式.
图 B.12.1
（4）分析 利用
收敛时p>1，
条件收敛时0<p≤1，确定题中α的取值范围.
精解 由于
绝对收敛，即
收敛，或
收敛，所以
，即
由于
条件收敛，所以
0<2-α≤1，即1≤α<2. （2）
由式（1）、式（2）得 
因此本题选（D）.
附注 应记住以下结论：（ⅰ） 
（p级数）收敛的充分必要条件是p>1.（ⅱ） 
绝对收敛的充分必要条件是p>1，条件收敛的充分必要条件是0<p≤1.
（5）分析 只要在α1，α2，α3，α4中找到三个向量，以它们为列的矩阵的行列式为零即可.
精解 由于
所以，向量组α1，α3，α4线性相关.
因此本题选（C）.
附注 判别n个n维列向量组α1，α2，…，αn的线性相关性的快捷方法是，构造矩阵
A=（α1，α2，…，αn），
当|A|=0时，α1，α2，…，αn线性相关；
当|A|≠0时，α1，α2，…，αn线性无关.
（6）分析 利用
即可算出Q-1AQ.
精解 由于
所以，
因此本题选（B）.
附注 本题也可用以下方法快捷计算：
由
知，α1，α2是A的对应特征值λ=1的两个线性无关的特征向量，所以α1+α2，α2也是A的对应特征值λ=1的两个线性无关的特征向量，因此对于Q=（α1+α2，α2，α3）有
（7）分析 先写出（X，Y）的概率密度，然后计算
精解 记D1={（x，y）|0<x<1，0<y<1}，
D2={（x，y）|x2+y2≤1}，
则二维随机变量（X，Y）的概率密度为
于是，
图 B.12.2
因此本题选（D）.
附注 X与Y的概率密度分别为
由于X与Y相互独立，所以（X，Y）的概率密度为
（8）分析 先确定X1-X2与X3-X4的分布，然后按抽样分布的定义确定
的分布.
精解 由题设知X1-X2～N（0，2σ2），所以
同样由题设知X3+X4-2～N（0，2σ2），所以
.而且
与
相互独立，
所以 
因此本题选（B）.
附注 要记住常用的三个抽样分布χ2（n），t（n）及F（n1，n2）的定义.
二、填空题
（9）分析 所给极限是1∞型未定式极限，所以将函数指数化后计算.
精解 
其中 
（
型未定式极限）
所以， 
附注 极限
也可用洛必达法则计算，具体如下：
（10）分析 先写出y=f（f（x））在点x=e的小邻域内的表达式，然后计算
精解 记u=f（x），则y=f（f（x））=f（u）.
当x位于点x=e的某个小邻域内时，u应按
计算，它位于
的某个小邻域内，此时y应按2u-1计算.所以在点x=e的某个小邻域内，有
因此
附注 题解中只需写出y=f（f（x））的局部表达式，它在（-∞，+∞）上的表达式具体计算如下：
（11）分析 按
计算，所以只要算出
与
即可.
精解 由
知，x→0，y→1时有
即 
再由f（x，y）连续得
所以
从而
附注 实际上dz（0，1）可按全微分定义直接得到，具体如下：
由题中所给极限可得
以及由f（x，y）连续得f（0，1）=1.于是式（1）可以改写成
因此由全微定义知
dz|（0，1）=2dx-dy.
（12）分析 画出题中平面图形的概图，然后由定积分计算它的面积.
精解 记D为由曲线
和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形，如图B.12.3阴影部分所示.
用直线x=1将D划分成D1与D2两部分，如图B.12.3所示.显然
图 B.12.3
所以
附注 由于D是角域的一部分，所以它的面积也可以用极坐标计算，具体如下：
（13）分析 利用公式AA∗=|A|E3（其中E3是三阶单位矩阵），并用初等矩阵与A之积表示B，即可算出|BA∗|.
精解 由题设得
所以
所以
附注 应记住：当A是n阶矩阵时，
AA∗=A∗A=|A|En（En是n阶单位矩阵，A∗是A的伴随矩阵）.
并应熟练掌握矩阵M的每一个初等行变换（初等列变换）都对应一个初等矩阵，并且对M左乘（右乘）这个初等矩阵即为M经此初等行变换（初等列变换）后的矩阵.
（14）分析 利用条件概率计算公式计算
精解 
附注 题解中利用了多个概率计算公式，其中特别是
这个等式可推导如下：
三、解答题
（15）分析 所给极限是
型未定式，化简后用洛必达法则计算.
精解 
附注 如果用带佩亚诺型余项的麦克劳林公式，则可快捷算得极限
具体如下：
由于x→0时，
所以
本题的有关内容及计算方法见提高篇01.
（16）分析 画出D的概图，然后按“先y后x”顺序计算
精解 区域D如图B.12.4阴影部分所示，则
其中，
图 B.12.4
将式（2）、式（3）代入式（1）得
附注 本题按“先y后x”顺序计算
比较快捷，如果按“先x后y”顺序计算，则需用直线y=1将D分成两部分，并在各部分上按“先x后y”顺序计算
，计算量较大.
本题是无界区域上的二重积分，其计算方法与有界闭区域上的二重积分相同，即将二重积分转换成二次积分.
（17）分析 （Ⅰ）由题设知
，Cy′ （x，y）=6+y及C（0，0）=10000，由此即可算出C（x，y）.
（Ⅱ）利用拉格朗日乘数法计算C（x，y）在约束条件x+y=50下的最小值点与最小值.
（Ⅲ）在（Ⅱ）中算得的x，y值后，计算Cx′（x，y），并对此作出经济学上的解释.
精解 由题设知
Cy′（x，y）=6+y， （2）
C（0，0）=10000. （3）
由式（1）得
式（4）的两边对y求偏导数得
Cy′ （x，y）=φ′（y）.
将其与式（2）比较得
φ′（y）=6+y，即
（M是常数）. （5）
将式（5）代入式（4）得
将式（3）代入式（6）得M=10000，所以
（Ⅱ）为计算在约束条件x+y=50下C（x，y）的最小值，作拉格朗日函数
令 
即 
式（7）-式（8）并与式（9）联立得
解此方程组得唯一解 x=24，y=26.
所以由题设知，在约束条件x+y=50下，C（x，y）在x=24、y=26处取得最小值，即甲、乙两种产品的产量分别为24件与26件时，总成本最小。最小总成本为C（24，26）=11118（万元）.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，总成本最小时，甲产品的边际成本为
万元/件，在经济学上，它表示在甲、乙两种产品的产量分别为24件与26件时，甲产品的产量每增加一件时，总成本将增加32万元.
附注 应理解经济学中“边际”“弹性”等概念.
（18）分析 由于
所以只要证明
即可.
精解 当x∈[0，1）时，有
为证明这一不等式作辅助函数
，则f（x）在[0，1）上连续，在（0，1）内可导且
所以，在[0，1）上f（x）≥f（0），即
，从而
由此推得
由于
是偶函数，所以式（1）在（-1，0]上也成立，因此得证
附注 不先化简而直接证明题中不等式是不容易的，故对它作两次化简.
（ⅰ）将欲证的不等式
左边函数缩小成
.故只要证明
即可.
（ⅱ）将x限制在[0，1）上，则
又可进一步化简为
本题的有关内容及证明方法见提高篇05.
（19）分析 （Ⅰ）从求解二阶常系数齐次线性微分方程f″（x）+f′（x）-2f（x）=0入手计算f（x）的表达式.
（Ⅱ）将（Ⅰ）中算得的f（x）代入
，计算y″，由此得到曲线
的拐点.
精解 （Ⅰ）f″（x）+f′（x）-2f（x）=0是二阶常系数齐次线性微分方程，它的特征方程r2+r-2=0有根r=1，-2，所以通解为
f（x）=C1ex+C2e-2x. （1）
将式（1）代入f″（x）+f（x）=2ex得
2C1ex+5C2e-2x=2ex，
所以，C1=1，C2=0.将它们代入式（1）得f（x）=ex.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以
于是由
知，（0，y（0））=（0，0）是曲线
的唯一拐点.
附注 本题也可以按以下方法计算f（x）的表达式：
由f″（x）+f（x）=2ex得f″（x）=2ex-f（x）.将它代入f″（x）+f′（x）-2f（x）=0得
f′（x）-3f（x）=-2ex （一阶线性微分方程），它的通解为 f（x）=e3x（C+e-2x）=Ce3x+ex. （2）
将式（2）代入f″（x）+f（x）=2ex得C=0.再将C=0代入式（2）得f（x）=ex.
本题是综合题，有关内容及计算方法见提高篇05，14.
（20）分析 （Ⅰ）按第一行展开计算行列式|A|.
（Ⅱ）令A=0，算出的a值中，能使
与A有相等秩的a值即为所求.然后计算对应的方程组Ax=β的通解.
精解 （Ⅰ）
（Ⅱ）由A=0，即1-a4=0得a=1，-1.
当a=1时，对方程组Ax=β的增广矩阵
施行初等行变换：
由此可知，此时
.所以a=1不是所求的.
当a=-1时，对方程组Ax=β的增广矩阵A施行初等行变换.
由此可知，此时
，方程组Ax=β有无穷多解.因此所求的a=-1.由于此时方程组Ax=β与方程组
同解.方程组（1）的导出组
的通解为C（1，1，1，1）T，此外，方程组（1）
有特解（0，-1，0，0）T，所以当a=-1时，方程组Ax=β的通解为
x=（x1，x2，x3，x4）T=C（1，1，1，1）T+（0，-1，0，0）T（其中C为任意常数）.
附注 题解中值得注意的是：方程A=0的根未必都能使方程组Ax=β有无穷多解，需对方程|A|=0的根作一一检验；检验它们是否满足
本题的有关内容与计算方法见提高篇18.
（21）分析 （Ⅰ）由ATA=0算出a的值.
（Ⅱ）对（Ⅰ）中算出的a，将对称矩阵ATA正交相似化，即QT（ATA）Q=Λ（对角矩阵），由此得到正交变换x=Qy及f的标准形.
精解 （Ⅰ）由于
所以
|ATA|=2（1+a2）（3+a2）-（1-a）2（1+a2）-2（1-a）2
=2（1+a2）（3+a2）-（1-a）2（3+a2）
=（1+a）2（3+a2）.
于是，由f（x1，x2，x3）的秩为2，即ATA的秩为2得|ATA|=0，即
（1+a）2（3+a2）=0.
由此得到a=-1（容易检验，当a=-1时，r（ATA）=2）.
（Ⅱ）当a=-1时，
记E3为三阶单位矩阵，则由
得ATA的特征值为λ=0，2，6.
设对应λ=0的特征向量为α=（a1，a2，a3）T，则α满足：
显然该方程组有解α=（-1，-1，1）T.
设对应λ=2的特征向量为β=（b1，b2，b3）T，则β满足：
显然该方程组有解β=（-1，1，0）T.
设对应λ=6的特征向量为γ=（c1，c2，c3）T，则γ应与α，β正交，故有
即
显然该方程组有解γ=（1，1，2）T.
由于α，β，γ两两正交，现将它们单位化：
记Q=（ξ1，ξ2，ξ3），则Q是正交矩阵，且正交变换
于是正交变换x=Qy（其中y=（y1，y2，y3）T）使得
f=2y22+6y23（标准形）.
附注 要熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，有关内容及计算方法见提高篇20.
（22）分析 （Ⅰ）由{X=2Y}={X=0，Y=0}∪{X=2，Y=1}可以得到P（X=2Y）.
（Ⅱ）由于Cov（X-Y，Y）=Cov（X，Y）-DY，所以只要算出Cov（X，Y）与DY即可.
精解 （Ⅰ）由于{X=2Y}={X=0，Y=0}∪{X=2，Y=1}，且{X=0，Y=0}与{X=2，Y=1}互不相容，所以
（Ⅱ）Cov（X-Y，Y）=Cov（X，Y）-Cov（Y，Y）=Cov（X，Y）-DY，（1）其中
此外，关于Y的边缘概率分布为
所以
将式（2）、式（3）代入式（1）得
附注 由题解Cov（X-Y，Y）≠0知，X-Y与Y不相互独立的.也可检验如下：
由于
所以
P（X-Y=0，Y=2）≠P（X-Y=0）P（Y=2）.
因此X-Y与Y不相互独立.
本题是综合题，其有关内容与计算方法见提高篇21，22，23.
（23）分析 （Ⅰ）先算出V的分布函数FV（v），然后求导得V的概率密度fV（v）.
（Ⅱ）利用公式
化简U+V，然后计算E（U+V）.
精解 （Ⅰ）记V的分布函数为FV（v），则
FV（v）=P（V≤v）=P（min{X，Y}≤v）
=1-P（min{X，Y}>v）=1-P（X>v，Y>v）
=1-P（X>v）P（Y>v） （利用X与Y相互独立）
=1-[1-P（X≤v）][1-P（Y≤v）]
=1-[1-FX（v）][1-FY（v）]，
其中FX（v）与FY（v）分别是X与Y的分布函数，且
所以
因此V的概率密度
（Ⅱ）利用公式
得U+V=X+Y，所以
E（U+V）=E（X+Y）=EX+EY=1+1=2.
附注 应记住以下结论：
设X与Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX（x）与FY（y），则
（ⅰ）U=max{X，Y}的分布函数为
FU（u）=FX（u）·FY（u），
（ⅱ）V=min{X，Y}的分布函数为
FV（v）=1-[1-FX（v）][1-FY（v）].
本题是综合题，其有关内容及计算方法见提高篇23，24.