2007年全国硕士研究生入学统一考试试题精解
一、选择题
（1）分析 利用x→0+时的常用等价无穷小寻找与
等价的无穷小量.
精解 由于x→0+时，
，所以与
等价的无穷小量是
因此本题选（B）.
附注 应记住以下的常用等价无穷小：
当x→0时，
sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，
（2）分析 利用函数f（x）在点x=0处连续，排除其中三个正确命题即可.
精解 由
存在知limf（x）=0.于是由f（x）在点x=0处连续得
x→0
，以及
存在.所以选项（A）、（C）都应排除.
此外，由
存在知
于是由f（x）在点x=0处连续得2f（0）=0，即f（0）=0.所以选项（B）应排除.
因此本题选（D）.
附注 记住下列结论：
设函数g（x）在点x0处连续，且
，则f（x0）=0，f′（x0）=A.
（3）分析 由f（x）是奇函数知F（x）是偶函数，所以只要根据定积分的几何意义算出F（2），F（3）即可判定正确选项.
精解 记区间[0，2]、[2，3]上的上、下半圆分别为D1、D2，则
此外，由f（x）是奇函数知F（x）是偶函数，所以
因此本题选（C）.
附注 记住以下结论：
设f（x）是连续函数，则当f（x）是奇函数（偶函数）时，
是偶函数（奇函数）.
（4）分析 画出所给二次积分对应的二重积分的积分区域D，由此可得先x后y的二次积分.
精解 所给的二次积分对应的二重积分的积分区域为
所以，所给的二次积分等于
图 B.07.1
因此本题选（B）.
附注 变更二次积分的积分次序时，总是先画出所给二次积分对应的二重积分的积分区域.
（5）分析 利用需求弹性的定义计算.
精解 需求弹性εp的绝对值为
，于是由题设得
，即
利用p>0，160-2p=Q>0化简上式得
，所以p=40.
因此本题选（D）.
附注 由于Q（p）是p的减函数，所以
（6）分析 先判断所给曲线有无铅垂渐近线，然后计算非铅垂渐近线，从而得到正确选项.
精解 由于x→0时，y→∞，所以，x=0是曲线的铅垂渐近线.
由于
所以曲线有非铅垂渐近线y=x（斜渐近线）.
由于
所以曲线有非铅垂渐近线y=0（水平渐近线）.
因此本题选（D）.
附注 对曲线y=y（x），如果极限
与
都存在，则直线y=ax+b是曲线y=y（x）的非铅垂渐近线.如果a或b不存在，则应对式
（1）分别考虑x→+∞和x→-∞的极限.
计算时应注意，如果b=k（常数），则必有非铅垂渐近线y=k（水平渐近线），这是因为此时必有a=0.
（7）分析 按向量组线性相关的定义判断正确选项.
精解 先考虑选项（A）.由于
1·（α1-α2）+1·（α2-α3）+1·（α3-α1）=0，所以，向量组α1-α2，α2-α3，α3-α1线性相关.
因此本题选（A）.
附注 选项（B）、（C）、（D）的向量组都线性无关，可按以下快捷方法证明：
由于
其中向量组α1，α2，α3线性无关，且
，所以向量组α1+α2，α2+α3，α3+α1线性无关.同样可证向量组α1-2α2，α2-2α3，α3-2α1线性无关，向量组α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1也线性无关.
（8）分析 由于A是实对称矩阵，所以可从计算A的特征值入手.
精解 记E为三阶单位矩阵，则由
得A的特征值为0，3（二重）.
由此可知，两个实对称矩阵A与B的特征值不全相同，所以不相似，但是A与B的正特征值个数、负特征值个数分别相等，所以A与B合同.
因此本题选（B）.
附注 （ⅰ）n阶实对称矩阵A与B相似必合同，但合同未必相似.
（ⅱ）n阶实对称矩阵A与B相似的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式；合同的充分必要条件是二次型f（x1，x2，…，xn）=xTAx与g（x1，x2，…，xn）=xTBx（其中x=（x1，x2，…，xn）T）有相同的规范形.
（9）分析 随机事件{第4次射击恰好第二次命中目标}是独立随机事件{前3次射击恰好有一次命中目标}与{第4次射击命中目标}之积，由此即可算出要求的概率.
精解 记A={第4次射击恰好第2次命中目标}；
B={前3次射击恰好有一次命中目标}，
C={第4次射击命中目标}，
则
P（A）=P（BC）=P（B）P（C）=C31p（1-p）2·p=3p2（1-p）2.
因此本题选（C）.
附注 顺便可以考虑与本题相关的一个问题，即计算此人第4次射击恰好第2次命中目标的条件下第1次命中目标恰好是第3次射击的概率.
记 D={第1次命中目标恰好是第3次射击}，则所求的概率为
（10）分析 由条件概率密度计算公式即可确定正确的选项.
精解 由于（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y互不相关，所以X与Y相互独立.
从而
fX|Y（x|y）=fX（x）.
因此本题选（A）.
附注 （ⅰ）由于本题的（X，Y）服从二维正态分布，所以对任何y有fY（y）≠0，从而对任何y，fX|Y（x|y）都有意义.
（ⅱ）当随机变量（X，Y）服从二维正态分布时，X与Y相互独立的充分必要条件是X与Y互不相关.
二、填空题
（11）分析 利用“无穷小与有界函数之积为无穷小”的结论计算.
精解 由于
，所以
即x→+∞时，
是无穷小，而sinx+cosx≤2，即sinx+cosx是有界函数.因此
附注 考虑类似的问题：求
由于
并且在点x=0的去心邻域内
，所以
（12）分析 利用y的带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式计算y（n）（0）.
精解 由于
所以
附注 （ⅰ）函数f（x）的带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式为
（ⅱ）y（n）（0）也可以按函数
的n阶导数公式
计算得
（13）分析 先利用dz算出
，
，然后将它们代入
即可.
精解 由
得
所以
附注 由于要计算
、
，所以从计算dz入手，以使计算快捷些.
（14）分析 所给微分方程是一阶齐次微分方程，因此令u=yx进行计算.
精解 令
，则所给微分方程成为
，即
两边积分得
将y（1）=1，即u（1）=1代入式（1）得
1=0+C，即C=1.
将它代入式（1）得
，即
解出y得
由于y（1）=1，所以上式右边只能取正号，因此所求的特解为
附注 所给微分方程的通解也可以按以下方法计算：
将所给微分方程改写为
，即
令v=y-2得
它的通解为
因此所给微分方程的通解为
（15）分析 只要算出A3，即可得到A3的秩.
精解 由于
所以A3的秩为1.
附注 顺便考虑
，它可快捷计算如下：
由于
所以
（16）分析 设两个数为X，Y，则它们是相互独立的随机变量，且都服从（0，1）内的均匀分布.
精解 （X，Y）的概率密度
，其中D={（x，y）0≤x≤1，0≤y≤1}，所以所求的概率为
图 B.07.2
附注 “在区间（0，1）内随机地取两个数”，表明这两个数X，Y相互独立，且都在（0，1）内服从均匀分布.
三、解答题
（17）分析 求出函数y=y（x）在点x=1附近的二阶导数，并判定它的正负性.
精解 所给方程两边对x求导得
y′lny+y′-1+y′=0，
即
于是
显然在点（1，1）附近y″<0.因此在点（1，1）附近曲线y=y（x）是凸的.
附注 由题解中计算可知，曲线y=y（x）在点（1，1）附近是单调上升且是凸的.此外曲线y=y（x）有拐点（-e-2，e-2）.
（18）分析 利用D的对称性把所给二重积分化简为4∬D1f（x，y）dσ，其中D1是D的第一象限部分.然后用直线x+y=1将D1分成D2、D3两部分（如图B.07.3所示），且分别计算f（x，y）在D2和D3上的二重积分.
精解 由于D关于x轴和y轴都对称，且在对称点处f（x，y）的值彼此相等，所以
图 B.07.3
其中 
将式（2）、式（3）代入式（1）得
附注 由于D2是角域的一部分，所以
也可以用极坐标计算，具体如下：
本题的计算方法见提高篇12.
（19）分析 作辅助函数F（x）=f（x）-g（x），则欲证的问题成为：（Ⅰ）存在η∈（a，b），使得F（η）=0；（Ⅱ）存在ξ∈（a，b），使得F″（ξ）=0.显然需两次应用罗尔定理.
精解 （Ⅰ）作辅助函数F（x）=f（x）-g（x），显然F（a）=F（b）=0.此外存在c，d∈（a，b），使得f（c）=f（d）=M（f（x）与g（x）在[a，b]上的最大值）.如果c≠d，则F（c）=f（c）-g（c）≥0，F（d）=f（d）-g（d）≤0.于是由零点定理（推广形式）知，存在η∈[c，d]或[d，c]，使得F（η）=0.如果c=d，则可取η=c.从而有f（η）=g（η）（η∈（a，b））.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，在[a，b]上有不同三点a，η，b，使得F（a）=F（η）=F（b），并且F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，所以对F（x）在[a，η]和[η，b]上分别应用罗尔定理知，存在ξ1∈（a，η）和ξ2∈（η，b），使得F′（ξ1）=F′（ξ2）=0.此外，F′（x）在[ξ1，ξ2]上可导，所以再由罗尔定理知，存在ξ∈（ξ1，ξ2）⊂（a，b），使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）.
附注 （ⅰ）零点定理有各种推广形式，例如：
设函数f（x）在[a，b]上连续，f（a）f（b）≤0，则存在ξ∈[a，b]，使得f（ξ）=0.
设函数f（x）在[a，+∞）上连续，f（a）·
，则存在ξ∈（a，+∞），使得f（ξ）=0.
（ⅱ）罗尔定理也有各种推广形式，例如：
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，且f（x1）=f（x2）=f（x3）（其中a≤x1<x2<x3≤b），则存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=0.
设函数f（x）在[a，b]上连续可导，在（a，b）内二阶可导，且f′（ξ1）=f′（ξ2）（其中a≤ξ1<ξ2≤b），则存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=0.
本题的有关内容与证明方法见提高篇04.
（20）分析 令t=x-1，将
展开成t的幂级数即可.
精解 由于
所以
（-2<x-1<2，即-1<x<3）.
附注 将函数f（x）展开成x-x0的幂级数的步骤如下：
（ⅰ）令t=x-x0，记φ（t）=f（t+x0）.
（ⅱ）将φ（t）表示成常用函数的线性组合，或常用函数的积分上限函数，或常用函数的导数，这里线性组合的系数可以为常数或t的正整数幂，而常用函数是指eax，sin ax，cos ax，ln（1+ax），（1+ax）μ（其中a是常数）.
（ⅲ）将φ（t）中的各个常用函数用对应的麦克劳林级数代入，通过幂级数的代数运算或分析运算，算出φ（t）的关于t的幂级数展开式，其成立范围为代入到φ（t）的各个麦克劳林级数的收敛域的公共部分，记为-R<t<R.
（ⅳ）将t=x-x0代入φ（t）的幂级数展开式，就将f（x）展开成x-x0的幂级数，其成立范围为-R<x-x0<R，即x0-R<x<x0+R.
本题的有关内容及计算方法见提高篇14.
（21）分析 将所给线性方程组与方程联立构成新的线性方程组，由此，问题变成新的线性方程组有解时，计算a的值及所有解.
精解 由所给线性方程组及方程构造线性方程组
对它的增广矩阵
施行初等行变换：
由于式（1）有解（即所给线性方程组与方程有公共解），所以r（A）=r（A）（A是式（1）的系数矩阵）.由此得到（a-1）（a-2）=0，即a=1，2.
当a=1时，式（1）与方程组
同解，所以式（1）的解，即所求的公共解为
（x1，x2，x3）T=C（-1，0，1）T （C是任意常数）.
当a=2时，式（1）与方程组
同解，所以式（1）的解，即所求的公共解为
（x1，x2，x3）T=（0，1，-1）T.
附注 线性方程组
A1x=b1与A2x=b2
（其中A1，A2分别是m1×n与m2×n矩阵）有公共解的充分必要条件是方程组
有解.
本题的有关内容与计算方法见提高篇18.
（22）分析 （Ⅰ）记f（λ）=λ5-4λ3+1，则B的所有特征值为μ1=f（λ1），μ2=f（λ2），μ3=f（λ3）.于是只要算出A的特征向量，即能得到B的所有特征向量.
（Ⅱ）利用B与对角矩阵正交相似算出B.
精解 （Ⅰ）由于Bα1=A5α1-4A3α1+α1=15·α1-4·13·α1+α1=-2α1，且α1≠0，所以α1是B的对应特征值-2的一个特征向量.
由B=A5-4A3+E，记f（λ）=λ5-4λ3+1，所以由A的特征值为1，2，-2得B的特征值为μ=f（1）=-2，f（2）=1，f（-2）=1.
B的对应μ=-2的全部特征向量为Cα1=C（1，-1，1）T（其中C是任意非零常数）.
设B的对应μ=1的特征向量为x=（x1，x2，x3）T，则由A是实对称矩阵知B是实对称矩阵，所以有
α1·x=0，即x1-x2+x3=0.
它的基础解系为α2=（1，1，0）T，α3=（-1，0，1）T，所以B的对应μ=1的全部特征向量为
C1（1，1，0）T+C2（-1，0，1）T=（C1-C2，C1，C2）T，
其中C1，C2是任意不全为零的常数.
（Ⅱ）为了构造正交矩阵Q，将α1，α2，α3正交单位化.显然只要将α2，α3正交化即可.
η2=α2=（1，1，0）T，
然后单位化：
记
（正交矩阵），则
，所以
附注 B也可以按与
相似的方法计算，具体如下：
记P=（α1，α2，α3），则
，所以只要算P-1即可得
但是，在计算实对称矩阵B时，以构造正交矩阵Q，并且按
计算为宜.
（23）分析 （Ⅰ）对f（x，y）在D1={（x，y）|x>2y}上积分即可得到P（X>2Y）.
（Ⅱ）利用公式
计算fZ（z）.
精解 （Ⅰ）记D={（x，y）|0<x<1，0<y<1}，D1={（x，y）|x>2y}，则D∩D1如图B.07.4a阴影部分所示.于是
图 B.07.4
其中 
即f（x，z-x）仅在图B.07.4b阴影部分取值为2-z，在xOz平面的其他部分都取值为零.所以由图可知
附注 应记住以下结论：
设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞），则随机变量Z=aX+bY+c的概率密度为
当b≠0时，
，
当a≠0时，f
特别地，有
随机变量Z1=X+Y的概率密度
，随机变量Z2=X-Y的概率密度
本题是综合题，其有关内容及计算方法见提高篇21，23.
（24）分析
（Ⅰ）计算EX，令
算出θ的矩估计量.
（Ⅱ）计算
即可得知
是否为θ2的无偏估计量.
精解 （Ⅰ）因为
所以，由矩估计法，令
，即
解出θ，即得θ的矩估计量为
（Ⅱ）由 
知
不是θ2的无偏估计量.
附注 题解中不必算出DX的值，现在作为练习具体计算如下：
DX=E（X2）-（EX）2，（1）
其中 
将它们代入式（1）得
本题的有关内容与计算方法见提高篇26.